Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} – 3 – 4i} \right| = 2\left| z \right|\) . Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) . Giá trị của \({M^2} + {m^2}\) bằng
A. \(28\) .
B. \(18 + 4\sqrt 6 \) .
C. \(14\) .
D. \(11 + 4\sqrt 6 \) .
Lời giải:
Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
\(2\left| z \right| = \left| {{z^2} – 3 – 4i} \right| \ge \left| {\left| {{z^2}} \right| – \left| {3 + 4i} \right|} \right| = \left| {{{\left| z \right|}^2} – 5} \right|\) (vì \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\) ). Dấu “=” xảy ra khi \({z^2} = k\left( { – 3 – 4i} \right)\) .
Suy ra \(4{\left| z \right|^2} \ge {\left( {\left| z \right| – 5} \right)^2} \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} – 14{\left| z \right|^2} + 25 \le 0 \Leftrightarrow 7 – 2\sqrt 6 \le {\left| z \right|^2} \le 7 + 2\sqrt 6 \) .
\( \Rightarrow \sqrt 6 – 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 6 + 1\)
Do đó, ta có \(M = 1 + \sqrt 6 \) và \(m = \sqrt 6 – 1\) .
Vậy \({M^2} + {m^2} = 14\) .
Trả lời