Xét các số phức \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) thoả mãn điều kiện \(\left| {z – 4 – 3i} \right| = \sqrt 5 \).Tính \(P = a + b\) khi giá trị biểu thức \(Q = \left| {z + 1 – 3i} \right| + \left| {z – 1 + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi: Xét các số phức \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) thoả mãn điều kiện \(\left| {z – 4 – 3i} \right| = \sqrt 5 \).Tính \(P = a + b\) khi giá trị biểu thức \(Q = \left| {z + 1 – 3i} \right| + \left| {z – 1 + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. A. \(P = 10\).  B. \(P = 4\).  C. \(P = 6\)  D. \(P = 8\). LỜI GIẢI CHI TIẾT: Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\). \(\left| {z – 4 – 3i} \right| = \sqrt 5 \)\( \Rightarrow M \in \left( C \right):{\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\), có tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \). Đặt \(A\left( { – 1;3} \right);B\left( {1; – 1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \( – 1 + 3i\) và \(1 – i\)\( \Rightarrow \)\(Q = \left| {z + 1 – 3i} \right| + \left| {z – 1 + i} \right|\)\( = MA + MB\). Ta có: \({Q^2} = M{A^2} + M{B^2} + 2MA.MB \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)\). Gọi \(E\left( {0;1} \right)\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow E{M^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\)

Do đó \({Q^2} \le 4M{E^2} + A{B^2}\) mà \(ME \le CE = 3\sqrt 5 \)\( \Rightarrow {Q^2} \le 4{\left( {3\sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 200\) (Với \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(EI\) với đường tròn \(\left( C \right)\)). Vậy \(P \le 10\sqrt 2 \). Dấu  xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\M \equiv C\end{array} \right.\) Đường thẳng \(EI:x – 2y + 2 = 0\)\( \Rightarrow \)Toạ độ \(C\) thoả mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x – 2y + 2 = 0\\{\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\). Do \(C{E_{\max }} \Rightarrow C\left( {6;4} \right)\)\( \Rightarrow M\left( {6;4} \right)\)\( \Rightarrow P = a + b = 10\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.