Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng A. \(\frac{1}{3}\). B. \(\frac{1}{9}\). C. \(\frac{8}{3}\). D. \(\frac{8}{9}\). Lời giải: Đặt \(I = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}} dx\) \(t = \sqrt {{{\ln … [Đọc thêm...] vềGọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .\frac{{\ln x}}{x}\) mà \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\). Giá trị \({F^2}\left( e \right)\) bằng
Trắc nghiệm Nguyên hàm
Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).
Bên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\). A. \(V = \frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}.\) B. \(V = \frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}.\) C. \(V = \frac{\pi }{6}{a^3}.\) D. \(V = \frac{\pi }{8}{a^3}.\) Lời … [Đọc thêm...] vềBên trong hình vuông cạnh \(a\), dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ sau (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình).
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C} \). B. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C} \). C. \(\int {f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C} \). D. \(\int {f(x)dx = 2{x^3} - \frac{3}{x} + C} \). Lời giải: Ta có \(\int {f(x)dx = \int … [Đọc thêm...] vềCho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng
Tính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng A. \(20\). B. \(241\). C. \(48\). D. \(196\). Lời giải: Ta có: \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} … [Đọc thêm...] vềTính \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ – 4{x^4} + {x^2} – 3}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\), với \(a,b,c\) là các số nguyên. Khi đó \(a + {b^2} + {c^4}\) bằng
Tích phân \(\int\limits_{ – 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng
Tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng A. \(0\) . B. \(2\). C. \( - 1\). D. \(1\). Lời giải: Ta có \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| x \right|.dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| x \right|.dx} + \int\limits_0^1 {\left| x \right|.dx} = \int\limits_{ - 1}^0 { - x.dx} + \int\limits_0^1 {x.dx} = \left. { - \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + … [Đọc thêm...] vềTích phân \(\int\limits_{ – 1}^1 {\left| x \right|.dx} \) bằng
Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng
Với mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f'\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng A. \(15\). B. \(20\). C. \(25\). D. \(5\). Lời giải: Vì với mọi \(x \in … [Đọc thêm...] vềVới mọi \(x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thời thỏa mãn \(3{x^4}f\left( x \right) + {f^3}\left( x \right) = 2{x^5}f’\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(f\left( 5 \right)\) bằng
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng
Cho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng A. \(\frac{4}{3}\). B. \(16\). C. \(\frac{{26}}{3}\). D. \(8\). Lời giải: Cách 1: Gọi các điểm \(A,B,C,D\) như hình vẽ. Ta có \(\frac{{OB}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{OA}}{{DC}} = \frac{1}{5}\) mà \(OB + B{\rm{D}} = 4\) nên \(OB = … [Đọc thêm...] vềCho hàm số bậc nhất \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích phân \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right).dx} \) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2023} \right)\) bằng A. \(2022\frac{1}{{2024}}\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2023} \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng A. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2020}} - 2021}}{{2020}}\). B. \(\frac{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^{2021}} + … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^{2021}}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?
Cho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} - 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào? A. \(\left( {1;2} \right)\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(F\left( x \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f’\left( x \right)\ln x\) và \(G\left( 1 \right) = – \frac{1}{2}\). Phương trình \(G\left( {2{x^2} – 1} \right) = m\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(m\) thuộc khoảng nào?