DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Tổng phần ảo của tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 4 – 6i} \right| = 5\) và \(\frac{{\bar z + 3i}}{{\bar z – 1 + i}} \in \mathbb{R}\) bằng
A.\(\frac{{11}}{5}\).
B. \(\frac{{23}}{5}\).
C. \( – \frac{4}{5}\).
D. \(\frac{{38}}{5}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = a + bi\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}\), điều kiện : \({\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( { – b + 1} \right)^2} \ne 0\,\,\left( * \right)\).
▪ Ta có \(\left| {z – 4 – 6i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi – 4 – 6i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\left( {a – 4} \right) + \left( {b – 6} \right)i} \right| = 5\).
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {{\left( {b – 6} \right)}^2}} = 5 \Leftrightarrow {\left( {a – 4} \right)^2} + {\left( {b – 6} \right)^2} = 25\,\,\left( 1 \right).\)
▪ Ta có \(\frac{{\bar z + 3i}}{{\bar z – 1 + i}} = \frac{{a + \left( { – b + 3} \right)i}}{{\left( {a – 1} \right) + \left( { – b + 1} \right)i}} = \frac{{{a^2} + {b^2} – a – 4b + 3}}{{{a^2} + {b^2} – 2a – 2b + 2}} + \frac{{2a + b – 3}}{{{a^2} + {b^2} – 2a – 2b + 2}}.i\)
Vì \(\frac{{\bar z + 3i}}{{\bar z – 1 + i}}\) là số thực nên ta có \(2a + b – 3 = 0 \Leftrightarrow b = 3 – 2a\,\,\left( 2 \right)\).
▪ Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({\left( {a – 4} \right)^2} + {\left( { – 2a – 3} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow 5{a^2} + 4a = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow b = 3\\a = – \frac{4}{5} \Rightarrow b = \frac{{23}}{5}\end{array} \right.\).
Các số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \({z_1} = 3i;\,\,{z_2} = – \frac{4}{5} + \frac{{23}}{5}i\).
Vậy tổng phần ảo của tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn là: \(3 + \frac{{23}}{5} = \frac{{38}}{5}.\)
Trả lời