Đề bài: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $ Tìm $Max f(x) , Min f(x).$ Lời giải Tập xác định là $R$Đặt $\cos x =t.$ Điều kiện của $t: t \in [-1;1] (A)$Hàm số $f(x)$ có dạng : $F=t+\sqrt{2-t^2} $ với $t \in (A)$ $F' (t) = 1 - \frac{ 1}{ \sqrt{2}-t^2 }, F'(t) =0 \Leftrightarrow t =1$ $\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_A F = max {F(-1) ; F(1)} =2$ khi … [Đọc thêm...] vềĐề: $f(x) = \cos x + \sqrt{2-\cos ^2 x .} $ Tìm $Max f(x) , Min f(x).$
Ứng dụng hàm số vào giải toán
Đề: Chứng minh rằng nếu $0
Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng nếu $0
Đề: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 – 2mx + m + 2}{x – m}$$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$ $2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$ $3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 – 2|x| + 3}}{|x| – 1} = a$
Đề bài: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 - 2mx + m + 2}{x - m}$$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$$3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 - 2|x| + 3}}{|x| - 1} = a$ Lời giải $1.$ $y^/=\frac{x^2-2mx+2m^2-m-2}{(x-m)^2} $ Hàm số đồng biến $\forall … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = f(x) = \frac{x^2 – 2mx + m + 2}{x – m}$$1.$ Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến với mọi $x > 1.$ $2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với $m = 1.$ $3.$ Biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình: $\frac{{x^2 – 2|x| + 3}}{|x| – 1} = a$
Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=x+\sqrt{4-x^2}$ với $-2\leq x\leq 2$.
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=x+\sqrt{4-x^2}$ với $-2\leq x\leq 2$. Lời giải Ta có: $y'=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}$Khi $-2\leq x\leq 0$ thì $\sqrt{4-x^2}-x>0$. Khi $0\leq x\leq 2$, ta có: $(4-x^2)-x^2=4-2x^2$.Do đó ta có: $y'>0 $ khi $0\leq x\leq \sqrt{2}$ và $y'Tóm lại ta có bảng biến thiên sau:Vậy $\max y … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $y=x+\sqrt{4-x^2}$ với $-2\leq x\leq 2$.
Đề: Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên chẵn, và $a$ là một số lớn hơn, thì phương trình$( {n + 1}){x^{n + 2}} – 3( {n + 2} ){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}} = 0$ không có nghiệm
Đề bài: Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên chẵn, và $a$ là một số lớn hơn, thì phương trình$( {n + 1}){x^{n + 2}} - 3( {n + 2} ){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}} = 0$ không có nghiệm Lời giải Đặt $f\left( x \right) = \left( {n + 1} \right){x^{n + 2}} - 3\left( {n + 2} \right){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}}$ ta có:${f^'}\left( x \right) = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên chẵn, và $a$ là một số lớn hơn, thì phương trình$( {n + 1}){x^{n + 2}} – 3( {n + 2} ){x^{n + 1}} + {a^{n + 2}} = 0$ không có nghiệm
Đề: Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=cos^pxsin^qx (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$
Đề bài: Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=cos^pxsin^qx (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$ Lời giải Ta có: ${y^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2p}}x{\sin ^{2q}}x = {(1 - {\sin ^2}x)^p}{\sin ^{2q}}x$Đặt $t = {\sin ^2}x,{\rm{ t}} \in \left[ {0{\rm{ ; 1}}} \right]$ ta được ${y^2} = f(t) = {t^q}{(1 - t)^p},{\rm{ t}} \in … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $p, q$ là các số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=cos^pxsin^qx (0\leq x\leq \frac{\pi}{2} )$
Đề: Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3-3x^2+6x-6=y \\ y^3-3y^2+6y-6=z \\ z^3-3z^2+6z-6=x\end{cases} (I)$
Đề bài: Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3-3x^2+6x-6=y \\ y^3-3y^2+6y-6=z \\ z^3-3z^2+6z-6=x\end{cases} (I)$ Lời giải Xét hàm số $f(t)=t^3-3t^2+6t-6=(t-1)^3+3t-5$Tập xác định $R$Với mọi $t_1 \in R, t_2 \in R: t_1 $f(t_2)-f(t_1)=[(t_2-1)^3+3t_3-5]-[(t_1-1)^3+3t_1-5]$ =$(t_2-t_1)[(t_2-_1)^2+(t_1-1)^2+(t_2-1)(t_1-1)+3]$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3-3x^2+6x-6=y \\ y^3-3y^2+6y-6=z \\ z^3-3z^2+6z-6=x\end{cases} (I)$
Đề: Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
Đề bài: Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $ Lời giải Tập xác định của hàm số là $x$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}1 + 2\cos x \ge 0\\1 + 2\sin x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \ge \frac{-1}{2}\\\sin x \ge - \frac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow -\frac{ \pi}{6 } … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho $f(x)=\sqrt{1+2 \cos x }+\sqrt{1+2 \sin x } . $ Tìm $max f(x) , min f(x). $
Đề: Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}} Lời giải Xét $f(x)=\arctan x,x \in [n,n+1]$Theo định lý Lagrange:$\exists c \in (n,n+1)$$f(n+1)-f(n)=f'(c)(n+1-n)$$\Rightarrow \arctan (n+1)-\arctan n=\frac{1}{1+c^{2}}$Mà: $\arctan a-\arctan b=\arctan (\frac{a-b}{1+ab})(1)$$\Rightarrow \arctan \frac{1}{n^{2}+n+1}=\frac{1}{1+c^{2}}$Hơn nữa: $n$\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
Đề: Chứng minh rằng : $\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ ta có ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$
Đề bài: Chứng minh rằng : $\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ ta có ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức côsi:${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} \ge 2\sqrt {{2^{2\sin x + tanx}}} = {2.2^{\frac{{2\sin x + tanx}}{2}}}$Ta có ${2^{\frac{{3x}}{2} + 1}} = {2.2^{\frac{{3x}}{2}}} $. So sánh $2\sin x + tanx $ với $3x$ trên … [Đọc thêm...] vềĐề: Chứng minh rằng : $\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ ta có ${2^{2\sin x}} + {2^{tanx}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}}$