Ôn tập thi cuối kỳ 2 Toán 12 – SỐ PHỨC
=======
Xét hai số phức $z_{1}$, $z_{2}$ thỏa mãn $\vert z_{1}\vert =1$, $\vert z_{2}\vert =2$ và $\vert z_{1}-z_{2}\vert =\sqrt{3}$. Giá trị lớn nhất của $\vert 3z_{1}+z_{2}-5i\vert $ bằng:
{$5-\sqrt{19}$}
{ $5+\sqrt{19}$}
{$-5+2\sqrt{19}$}
{$5+2\sqrt{19}$}
LỜI GIẢI
Đặt $z_{1}=a+bi$, $z_{2}=c+di$. Khi đó $\vert z_{1}\vert=1\Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$; $\vert z_{2}\vert =3\Rightarrow c^{2}+d^{2}=4$.\\
Lại có $z_{1}-z_{2}=(a-c)+(b-d)i$ nên $\vert z_{1}-z_{2}\vert =\sqrt{3}\Rightarrow (a-c)^{2}+(b-d)^{2}=3$.\\ Dùng kết quả ở trên thay vao ta được: $a^{2}+c^{2}-2ac+b^{2}+d^{2}-2bd=3\Rightarrow ac+bd=1$.\\
Xét số phức $w=3z_{1}+z_{2}=(3a+c)+(3b+d)i$ nên:\\
\begin{align*}
\vert 3z_{1}+z_{2}\vert^{2}&=(3a+c)^{2}+(3b+d)^{2} & \\
& =9a^{2}+c^{2}+9b^{2}+d^{2}+6ac+6bd & \\
& =9(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})+6(ac+bd) & \\
&=9+4+6=19 & \\
\Rightarrow \vert 3z_{1}+z_{2}\vert & =\sqrt{19} & \\
\end{align*}\\
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho số phức: $\vert z_{1}+z_{2}\vert\leq \vert z_{1}\vert +\vert z_{2}\vert$ ta có:\\
$\vert 3z_{1}+z_{2}-5i\vert\leq \vert 3z_{1}+z_{2}\vert +\vert -5i\vert =\sqrt{19}+5$.\\
Vậy giá trị lớn nhất của $\vert 3z_{1}+z_{2}-5i\vert$ là $5+\sqrt{19}$.
———– xem file pdf ĐỀ—
————–
== LINK DOWNLOAD file đề===
DOWNLOAD PDF
=======
== LINK DOWNLOAD file đề và lời giải tham khảo===
DOWNLOAD PDF
=======
Trả lời