Ôn tập chương II – Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit – Giải SBT chương 2 Giải tích 12 nâng cao
Câu 2.126.
a) Nếu \({a^{{3 \over 4}}} > {a^{{4 \over 5}}}\) và \({\log _b}{1 \over 2} < {\log _b}{2 \over 3}\) thì
(A) a > 1, b > 1 (B) 0 < a < 1, b > 1
(C) a > 1, 0 < b < 1 (D) 0 < a < 1, 0 < b < 1
b) Nếu \({a^{{{13} \over 7}}} < {a^{{{15} \over 8}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right) > {\log _b}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) thì
(A) a > 1, b > 1 (B) 0 < a < 1, b > 1
(C) a > 1, 0 < b < 1 (D) 0 < a < 1, 0 < b < 1
c) Nếu \({\left( {\sqrt 6 – \sqrt 5 } \right)^x} > \sqrt 6 + \sqrt 5 \) thì
(A) x > 1 (B) x < 1
(C) x > -1 (D) x < -1
Giải
a) Chọn (B); b) Chọn (C); c) Chọn (D).
——————————————-
Câu 2.127
a) Giá trị của \({\log _{{a^3}}}a(a > 0,a \ne 1)\) bằng
(A) 3 (B) \({1 \over 3}\)
(C) -3 (D) \( – {1 \over 3}\)
b) Giá trị của \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}(a > 0,a \ne 1)\) bằng
(A) 4 (B) 2
(C) 16 (D) \({1 \over 2}\)
c) Giá trị của \({a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}}(a > 0,a \ne 1)\)
(A)\({5^8}\) (B) \({5^2}\)
(C) \({5^4}\) (D) 5
Giải
a) Chọn (B), vì \({\log _{{a^3}}}a = {1 \over 3}\) \({\log _a}a = {1 \over 3}\)
b) Chọn (C), vì \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}{4^2}}} = 16\)
c) Chọn (B). vì \({a^{4{{\log }_{{a^2}}}5}} = {a^{2{{\log }_a}5}} = {a^{{{\log }_a}{5^2}}} = {5^2}\).
——————————————-
Câu 2.128
Nếu \({\log _{12}}6 = a\) và \({\log _{12}}7 = b\) thì
(A) \({\log _2}7 = {a \over {a – 1}}\) (B) \({\log _2}7 = {a \over {1 – b}}\)
(C) \({\log _2}7 = {a \over {1 + b}}\) (D) \({\log _2}7 = {b \over {1 – a}}\)
Giải
Chọn (D), vì
\({\log _2}7 = {{{{\log }_{12}}7} \over {{{\log }_{12}}2}} = {{{{\log }_{12}}7} \over {{{\log }_{12}}12 – {{\log }_{12}}6}} = {b \over {1 – a}}\).
——————————————-
Câu 2.129
a) Nếu \(\log 3 = a\) thì \(\log 9000\) bằng
(A) \({a^2} + 3\) (B) \(3 + 2a\)
(C) \(3{a^2}\) (D) \({a^2}\)
b) Nếu \(\log 3 = a\) thì \({1 \over {{{\log }_{81}}100}}\) bằng
(A)\({a^4}\) (B) \({a \over 8}\)
(C) 2a (D) 16a
Giải
a) chọn (B) , vì
\(\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3\)
b) Chọn (C), vì
\({1 \over {{{\log }_{81}}100}} = {{\log 81} \over {\log 100}} = {{4\log 3} \over 2} = {{4a} \over 2} = 2a\) .
——————————————-
Bài 2.130. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Giải thích tại sao.
a) \({\log _2}5 > 0\) b) \({\log _{0,2}}0,8 < 0\)
c) \({\log _{{1 \over 5}}}\sqrt 7 > 0\) d) \({\log _3}4 > lo{g_4}{1 \over 3}\)
Giải
a) Đúng, vì \({\log _2}5 > {\log _2}1 = 0\)
b) Sai, vì \({\log _{0,2}}0,8 > {\log _{0,2}}1 = 0\)
c) Sai, vì \({\log _{{1 \over 5}}}\sqrt 7 < {\log _{{1 \over 5}}}1 = 0\)
d) Đúng, vì \({\log _3}4 = {{{{\log }_4}4} \over {{{\log }_4}3}} = {1 \over {{{\log }_4}3}} > 0 > – {\log _4}3 = {\log _4}{1 \over 3}\)
Hoặc có thể giải thích \({\log _3}4 > {\log _3}3 = 1 = {\log _4}4 > {\log _4}{1 \over 3}\).
————————————————-
Bài 2.132
Cho a > 3b > 0 và \({a^2} + 9{b^2} = 10ab\). Chứng minh rằng
\(\log (a – 3b) – log2 = {1 \over 2}(\log a + \log b)\).
Giải
Từ \({a^2} + 9{b^2} = 10ab\) ta có \({(a – 3b)^2} = 4ab\). Lôgarit cớ số 10 hai vế, ta được
\(log{(a – 3b)^2} = \log 4ab\)
\( \Leftrightarrow 2log(a – 3b) = \log 4 + \log ab\)
\( \Leftrightarrow log(a – 3b) – log2 = {1 \over 2}(\log a + \log b)\).
—————————————————
Bài 2.133 Tính đạo hàm của các hàm số sau trên tập xác định của nó:
a) \(y = {e^{3x + 1}}\cos 2x\) b) \(y = \ln \sqrt {{x^3} – 1} \)
c) \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + {e^x}} \right)\) d) \(y = {5^{{\rm{cos}}x{\rm{ + }}\sin x}}\)
Giải
a) \(y’ = 3{e^{3x + 1}}\cos 2x – 2{e^{3x + 1}}\sin 2x\)
b) \(y’ = {{3{x^2}} \over {2({x^3} – 1)}}\)
c) \(y’ = {{2x + {e^x}} \over {({x^2} + {e^x})\ln 2}}\)
d) \(y’ = {5^{{\rm{cos}}x{\rm{ + }}\sin x}}.( – \sin x + \cos x)ln5\)
—————————————————-
Bài 2.134 Cho 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh rằng
a) \(\log _a^2{b \over c} = \log _a^2{c \over b}\) b) \({\log _a}b{\log _b}c{\log _c}a = 1\)
c) Trong ba số \(\log _{{a \over b}}^2{c \over b},\log _{{c \over b}}^2{a \over c},\log _{{c \over a}}^2{b \over a}\) luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
Giải
a) Do \({\log _a}{b \over c} = – {\log _a}{c \over b}\) nên \(\log _a^2{b \over c} = \log _a^2{c \over b}\)
b) \({\log _a}b{\log _b}c{\log _c}a = {\log _b}c{\log _c}{a^{{{\log }_a}b}} = {\log _b}c{\log _c}b = 1\)
c) Từ câu a) suy ra
\(\log _{{a \over b}}^2{c \over b} = \log _{{a \over b}}^2{b \over c};\log _{{b \over c}}^2{a \over c} = \log _{{b \over c}}^2{c \over a};\log _{{c \over a}}^2{b \over a} = \log _{{c \over a}}^2{a \over b}\)
Do đó \(\log _{{a \over b}}^2{c \over b}.\log _{{b \over c}}^2{a \over c}\log _{{c \over a}}^2{b \over a} = \log _{{a \over b}}^2{b \over c}\log _{{b \over c}}^2{c \over a}\log _{{c \over a}}^2{a \over b} = 1\)
Vì vậy suy ra điều cần chứng minh.
—————————————————–
Bài 2.135 Giải các phương trình sau:
a) \({9.243^{{{x + 5} \over {x – 7}}}} = {2187^{{{x + 17} \over {x – 3}}}}\)
b) \({4^{\sqrt {{x^2} + 5} – x}} – {2^{\sqrt {{x^2} + 5} – x + 2}} = – 4\)
c) \({\left| {2005 – x} \right|^{2006}} + {\left| {2006 – x} \right|^{2005}} = 1\)
d) \({3^x} – {3^{ – x}} = \root 3 \of {8 – {x^2}} \)
Giải
a) Đưa cả hai vế về lũy thừa cùng cơ số 3.
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {3^2}{.3^{5.{{x + 5} \over {x – 7}}}} = {3^{7.{{x + 17} \over {x – 3}}}} \cr
& \Leftrightarrow 2 + {{5\left( {x + 5} \right)} \over {x – 7}} = {{7.\left( {x + 17} \right)} \over {x – 3}} \cr} \)
Giải ra ta được: \(x=10\)
b) Đặt \(t = {2^{\sqrt {{x^2} + 5} – x}}\) ( với t > 0) ta có:
\(\eqalign{
& {t^2} – 4t + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 5} – x = 1 \cr} \)
Giải ra ta được: \(x = 2\)
c)
Nhận xét \(x = 2005\) và \(x = 2006\) là hai nghiệm, rồi chứng tỏ không còn nghiệm nào khác như sau :
\( \bullet \) Với \(x < 2005\) hoặc \(x > 2006\), dễ thấy vế trái lớn hơn vế phải.
\( \bullet \) Với \(2005 < x < 2006\) thì \(0 < \left| {2005 – x} \right| < 1,0 < \left| {2006 – x} \right| < 1\)
Do đó \({\left| {2005 – x} \right|^{2006}} < \left| {2005 – x} \right| = x – 2005\)
\({\left| {2006 – x} \right|^{2005}} < \left| {2006 – x} \right| = 2006 – x\)
Dẫn đến vế trái nhỏ hơn vế phải.
d) \(x = 0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chỉ ra hai vế trái không nhỏ hơn 2, còn dễ thấy vế phải không nhỏ hơn 2.
—————————————————
Bài 2.137 Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \matrix{{5^x}{.2^y} = 500 \hfill \cr {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x – y} \right) = 4 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{ {\log _{27}}xy = 3{\log _{27}}x{\log _{27}}y \hfill \cr {\log _3}{x \over y} = {{3{{\log }_3}x} \over {4{{\log }_3}y}} \hfill \cr} \right.\)
Giải
a)
Biến đổi phương trình về dạng
\(\left\{ \matrix{ {5^x}{.2^y} = 500 \hfill \cr 2x – y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {5^x}{.2^{2x – 4}} = 500 \hfill \cr y = 2x – 4 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {20^x} = {20^3} \hfill \cr y = 2x – 4 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\)
b)
. Đưa về cùng lôgarit cơ số 3, ta có
\(\left\{ \matrix{{\log _{27}}xy = 3{\log _{27}}x.{\log _{27}}y \hfill \cr{\log _3}{x \over y} = {{3{{\log }_3}x} \over {4{{\log }_3}y}} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _3}x + 3{\log _3}y = {\log _3}x{\log _3}y \hfill \cr{\log _3}x – {\log _3}y = {{3{{\log }_3}x} \over {4{{\log }_3}y}} \hfill \cr} \right.\)
Rồi đặt \(u = {\log _3}x,v = {\log _3}y\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \matrix{u + v = uv \hfill \cr u – v = {{3u} \over {4v}} \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ rồi tìm x, y ta được:
\(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 3};\sqrt 3 } \right);(x;y) = (27;3\sqrt 3 )\)
—————————————————–
Bài 2.138 Giải các bất phương trình sau:
a) \(\left| {{{\log }_4}x – 3} \right| < 1\)
b) \({\log _2}x + {\log _3}x < 1 + {\log _2}x{\log _3}x\)
c) \({15^{2x + 3}} > {5^{3x + 1}}{.3^{x + 5}}\)
d) \({{{{\log }^2_{a}}x.{{\log }_a}x + 2} \over {{{\log }_a}x – 2}} > 1\) với a > 0 và \(a \ne 1\)
Giải
a)
Cách 1. \(\left| {{{\log }_4}x – 3} \right| < 1 \Leftrightarrow {({\log _4}x – 3)^2} < 1\)
\(\Leftrightarrow \log _4^2x – 6{\log _4}x + 8 < 0\)
\( \Leftrightarrow 2 < {\log _4}x < 4 \Leftrightarrow 16 < x < 256\).
Cách 2.\(\left| {{{\log }_4}x – 3} \right| < 1 \Leftrightarrow – 1 < {\log _4}x – 3 < 1\)
\(\Leftrightarrow 2<{\log _4}x < 4\)
\( \Leftrightarrow 16 < x < 256\).
b)
Biến đổi bất phương trình về dạng
\(({\log _2}x – 1)(1 – {\log _3}x) < 0\)
Xảy ra hai trường hợp
\( \bullet \left\{ \matrix{{\log _2}x – 1 > 0 \hfill \cr1 – {\log _3}x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 2 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 3\)
\( \bullet \left\{ \matrix{ {\log _2}x – 1 < 0 \hfill \cr1 – {\log _3}x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{0 < x < 2 \hfill \cr0 < x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 2\)
c) Chia cả hai vế của bất phương trình cho \({15^{2x + 3}}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {{5 \over 3}} \right)^x} < {{25} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{5 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{5 \over 3}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x < 2 \cr} \)
d) Đặt \({\log _a}x = t\) (với \(t \ne 2\)), ta có \({{{t^2} + t + 2} \over {t – 2}} > 1 \Leftrightarrow t > 2\), tức là \({\log _a}x > 2\). Sau đó xét hai khả năng \(a > 1,0 < a < 1\)
Kết luận:
Với a > 1 thì \(x > {a^2}\)
Với 0 < a < 1 thì 0 < x <\({a^2}\)
Trả lời