HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC “SỐ PHỨC VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN”
Bài tập minh họa
Bài tập 1:
Tìm số phức z sao cho (1 +2i)z là số thuần ảo và \(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}\).
Lời giải:
Giả sử \(z=a+bi \ (a,b\in R)\).
Khi đó \((1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i.\)
(1 +2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi: \(a-2b=0\Leftrightarrow a=2b\)
\(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | =\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.\)
Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: \(z=2+i;z=-2-i.\)
Bài tập 2:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện \(z+(2+i)\bar{z}=3+5i.\)
Lời giải:
Giả sử \(z=a+bi(a,b\in R)\)
Ta có
\(z+(1+i)\bar{z}=3+5i\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i\)
\(\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=3\\ a-b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)
Vậy z=2-3i.
Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.
Bài tập 3:
Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}\). Tính \(\left |z_1 -z_2 \right |.\)
Lời giải:
Đặt: \(z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i \ (a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)\)
\(\left\{\begin{matrix} \left | z_1 \right | =\left | z_2 \right |=1\\ \left | z_1 +z_2\right |=\sqrt{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2=1\\ (a_1+b_2)^2+(b_1+b_2)^2=2 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1\)
Vậy \(\left | z_1-z_2 \right |=1.\)
Bài tập 4:
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.\) Tìm môđun của số phức \(w=z+2\bar{z}.\)
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi\)
Ta có \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i\)
\(\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+(3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i\)
\(\Leftrightarrow 4a+(4a-2b)i=4+10i\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=4\\ 4a-2b=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)
Do đó \(z= 1- 3i.\)
Ta có: \(w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.\)
Suy ra môđun của w là \(\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\)
Trả lời