| 1. Môđun của số phức: Số phức \(z = a + bi\)được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ \(\overrightarrow {OM} \) được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu \(\left| z \right| = \left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) Tính chất ∙ \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)∙ \(\left| z \right| \ge 0,\;\forall z \in \mathbb{C}\;,\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0\)∙ \(\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|\)∙ \(\left| {\frac{z}{{z’}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z’} \right|}},\left( {z’ \ne 0} \right)\)∙ \(\left| {\left| z \right| – \left| {z’} \right|} \right| \le \left| {z \pm z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\) \(\left| {kz} \right| = \left| k \right|.\left| z \right|,k \in \mathbb{R}\) * Chú ý: \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {{a^2} – {b^2} + 2abi} \right| = \sqrt {{{({a^2} – {b^2})}^2} + 4{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2} = z.\overline z \). Lưu ý: \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {z_1} = k{z_2}\,\left( {k \ge 0} \right)\) \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {z_1} = k{z_2}\,\left( {k \le 0} \right)\). \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {\left| {{z_1}} \right| – \left| {{z_2}} \right|} \right|\) dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {z_1} = k{z_2}\,\left( {k \le 0} \right)\) \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| \ge \left| {\left| {{z_1}} \right| – \left| {{z_2}} \right|} \right|\) dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {z_1} = k{z_2}\,\left( {k \ge 0} \right)\) \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\) \({\left| z \right|^2} = \left| {\overline z } \right|\left| z \right| = {\left| {\overline z } \right|^2}\). Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ \(x,y\) Quỹ tích điểm M thỏa \(\left| {z – a – bi} \right| = \left| {z – c – di} \right|\) là Đường thẳng \(\Delta {\rm{:ax}} + by + c = 0\) Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\) \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} \le {R^2}\) hoặc \(\left| {z – a – bi} \right| \le R\) Hình tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\) \({r^2} \le {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} \le {R^2}\) hoặc \(r \le \left| {z – a – bi} \right| \le R\) |
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – a – bi} \right| = \left| z \right|\), tìm \({\left| z \right|_{Min}}\). Khi đó ta có
Quỹ tích điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\) là đường trung trực đoạn \(OA\) với \(A\left( {a;b} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|_{Min}} = \frac{1}{2}\left| {{z_0}} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\z = \frac{a}{2} + \frac{b}{2}i\end{array} \right.\)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – a – bi} \right| = \left| {z – c – di} \right|.\) Tìm\({\left| z \right|_{\min }}\). Ta có
Quỹ tích điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\) là đường trung trực đoạn \(AB\) với \(A\left( {a;b} \right),B\left( {c;d} \right)\)
\({\left| z \right|_{Min}} = d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {{a^2} + {b^2} – {c^2} – {d^2}} \right|}}{{2\sqrt {{{\left( {a – c} \right)}^2} + {{\left( {b – d} \right)}^2}} }}\)
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – a – bi} \right| = R > 0\,\left( {\left| {z – {z_0}} \right| = R} \right)\). Tìm \({\left| z \right|_{Max}},{\left| z \right|_{Min}}\). Ta có
Quỹ tích điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|_{Max}} = OI + R = \sqrt {{a^2} + {b^2}} + R = \left| {{z_0}} \right| + R\\{\left| z \right|_{Min}} = \left| {OI – R} \right| = \left| {\sqrt {{a^2} + {b^2}} – R} \right| = \left| {\left| {{z_0}} \right| – R} \right|\end{array} \right.\)
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – c} \right| + \left| {z + c} \right| = 2a\,,\left( {a > c} \right)\) Khi đó ta có
Quỹ tích điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\) là Elip: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2} – {c^2}}} = 1\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|_{Max}} = a\\{\left| z \right|_{Min}} = \sqrt {{a^2} – {c^2}} \end{array} \right.\)
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
• Dạng 1: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z – {z_1}} \right| = \left| {z – {z_2}} \right|\). Tìm GTNN của \(P = \left| {z – {z_3}} \right|\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( z \right);A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right);C\left( {{z_3}} \right)\) là điểm biểu diễn của các số phức \(z;{z_1};{z_2};{z_3}\). Khi đó từ giả thiết \(\left| {z – {z_1}} \right| = \left| {z – {z_2}} \right|\) suy ra \(MA = MB\) hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) là đường trung trực \(\Delta \) của đoạn \(AB.\)
Ta có: \(P = \left| {z – {z_3}} \right|\)\( = CM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(C\) lên \(\Delta \)\( \Rightarrow {P_{\min }} = d\left( {C;\Delta } \right)\).
• Dạng 2: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z – {z_0}} \right| = R\). Tìm GTNN, GTLN của \(P = \left| {z – {z_1}} \right|\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( z \right);I\left( {{z_0}} \right);E\left( {{z_1}} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(z;{z_0};{z_1}\). Khi đó từ giả thiết \(\left| {z – {z_0}} \right| = R\)\( \Leftrightarrow IM = R \Rightarrow M\) thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\). Ta có: \(P = \left| {z – {z_1}} \right| = ME\) lớn nhất \( \Leftrightarrow M{E_{\max }}\) và \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{E_{\min }}\).
Khi đó: \({P_{\max }} = IE + R\) và \({P_{\min }} = \left| {IE – R} \right|\).
• Dạng 3: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z – {z_1}} \right| = \left| {z – {z_2}} \right|\). Tìm GTNN của \(P = \left| {z – {z_3}} \right| + \left| {z – {z_4}} \right|\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( z \right);A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right);H\left( {{z_3}} \right);K\left( {{z_4}} \right)\) là các điểm biểu diễn số phức \(z;{z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\). Khi đó từ giả thiết \(\left| {z – {z_1}} \right| = \left| {z – {z_2}} \right|\) suy ra \(MA = MB\), tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) là đường trung trực \(\Delta \) của \(AB\); \(P = \left| {z – {z_3}} \right| + \left| {z – {z_4}} \right| = MH + MK\).
TH1: \(H,K\) nằm khác phía so với đường thẳng \(\Delta \).
Ta có: \(P = HM + KM \ge HK\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0} = HK \cap \Delta \). Khi đó \({P_{\min }} = HK\).
TH2: \(H,K\) nằm cùngphía so với đường thẳng \(\Delta \).
Gọi\(H’\) là điểm đối xứng của \(\Delta \).
Ta có: \(P = MH + MK = MH’ + MK \ge H’K\). Dấu bằng xảy ra khi \(M \equiv {M_0} = H’K \cap \Delta \).
Khi đó \({P_{\min }} = H’K\).
• Dạng 4: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z – {z_1}} \right| = \left| {z – {z_2}} \right|\). Tìm GTNN của \(P = {\left| {z – {z_3}} \right|^2} + {\left| {z – {z_4}} \right|^2}\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( z \right);A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right);H\left( {{z_3}} \right);K\left( {{z_4}} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức\(z;{z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\).
Khi đó từ giả thiết ta có: \(\left| {z – {z_1}} \right| = \left| {z – {z_2}} \right|\) suy ra \(MA = MB\) hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) là đường trung trực \(\Delta \) của \(AB\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(HK\).
Ta có: \(M{I^2} = \frac{{M{H^2} + M{K^2}}}{2} – \frac{{H{K^2}}}{4}\)\( \Rightarrow P = M{H^2} + M{K^2} = 2M{I^2} + \frac{{H{K^2}}}{2}\). Do đó \({P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiểu của \(I\) lên \(\Delta \). Khi đó \({P_{\min }} = 2{M_0}{I^2} + \frac{{H{K^2}}}{2}\).
• Dạng 5: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z – {z_0}} \right| = R\). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức \(P = {\left| {z – {z_1}} \right|^2} + {\left| {z – {z_2}} \right|^2}\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( z \right);A\left( {{z_1}} \right);B\left( {{z_2}} \right);I\left( {{z_0}} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(z;{z_1};{z_2};{z_0}\).
Khi đó từ giả thiết \(\left| {z – {z_0}} \right| = R \Leftrightarrow IM = R\)\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm biểu diễn \(M\) của số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\).
Ta có: \(P = 2M{E^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\), do đó \({P_{\max }} \Leftrightarrow E{M_{\max }} \Leftrightarrow M \equiv {M_2}\) và \({P_{\min }} \Leftrightarrow E{M_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv {M_1}\).
Khi đó: \({P_{\max }} = 2{\left( {EI + R} \right)^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\); \({P_{\min }} = 2{\left( {EI – R} \right)^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\).
• Dạng 6: Cho hai số phức \({z_1};{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} – {z_0}} \right| = R\) và \(\left| {{z_2} – {{\rm{w}}_1}} \right| = \left| {{z_2} – {{\rm{w}}_2}} \right|\), trong đó \({z_0};{{\rm{w}}_1};{{\rm{w}}_2}\) là các số phức đã biết. Tìm GTNN của \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( {{z_1}} \right);N\left( {{z_2}} \right);I\left( {{z_0}} \right);A\left( {{{\rm{w}}_1}} \right);B\left( {{{\rm{w}}_2}} \right)\)
\(\left| {{z_1} – {z_0}} \right| = R\)\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\).
\(\left| {{z_2} – {{\rm{w}}_1}} \right| = \left| {{z_2} – {{\rm{w}}_2}} \right|\)\( \Rightarrow N\) thuộc đường trung trực \(\Delta \) của đoạn \(AB\).
Ta có: \(P = MN\), do đó: \({P_{\min }} = \left| {d\left( {I;\Delta } \right) – R} \right|\).
• Dạng 7: Cho hai số phức \({z_1};{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} – {{\rm{w}}_1}} \right| = {R_1}\) và \(\left| {{z_2} – {{\rm{w}}_2}} \right| = {R_2}\) trong đó \[{{\rm{w}}_1};{{\rm{w}}_2}\] là các số phức đã biết. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).
Phương pháp: Đặt \(M\left( {{z_1}} \right);N\left( {{z_2}} \right);I\left( {{{\rm{w}}_1}} \right);K\left( {{{\rm{w}}_2}} \right)\).
\(\left| {{z_1} – {{\rm{w}}_1}} \right| = {R_1}\)\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính \({R_1}\).
\(\left| {{z_2} – {{\rm{w}}_2}} \right| = {R_2}\)\( \Rightarrow N\) thuộc đường tròn tâm \(K\) bán kính \({R_2}\).
Ta có: \(P = MN\). Dựa vào các vị trí tương đối của hai đường tròn để tìm \(M{N_{\max }};\,M{N_{\min }}\).
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Xét hai số phức \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 3 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} \right|\) bằng
A. \(5 – \sqrt {19} .\)
B. \(5 + \sqrt {19} .\)
C. \( – 5 + 2\sqrt {19} .\)
D. \(5 + 2\sqrt {19} .\)
LỜI GIẢI
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm Min,Max mođun của số phức.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Gọi \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}.\)
B2:Tính \(\left| {{z_1}} \right|;\left| {{z_2}} \right|;\left| {3{z_1} + {z_2}} \right|.\)
B3:Tính Áp dụng:\(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\) \( \Rightarrow \left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} \right| \le \left| {3{z_1} + {z_2}} \right| + \left| { – 5i} \right| = \sqrt {19} + 5.\)
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
LỜI GIẢI
Đặt \({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}.\) Theo giả thiết thì
\({a^2} + {b^2} = 1,{\rm{ }}{c^2} + {d^2} = 4,{\rm{ }}{(a – c)^2} + {(b – d)^2} = 3.\)
Do đó \({a^2} – 2ac + {c^2} + {b^2} – 2bd + {d^2} = 3 \Rightarrow ac + bd = 1.\)
Ta có \(3{z_1} + {z_2} = 3(a + c) + (3b + d)i\) nên
\(\left| {3{z_1} + {z_2}} \right| = {(3a + c)^2} + {(3b + d)^2} = 9({a^2} + {b^2}) + ({c^2} + {d^2}) + 6(ac + bd) = 19.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\), ta có ngay
\(\left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} \right| \le \left| {3{z_1} + {z_2}} \right| + \left| { – 5i} \right| = \sqrt {19} + 5.\)
các bạn XEM THÊM 10 CÂU TƯƠNG TỰ FILE DOC Bên DƯỚI
https://drive.google.com/file/d/15K04aKz1A6BR41u9BGJq3m8m2vAFAJfy/view?usp=sharing
Trả lời