Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \frac{1}{{z – |z|i}}\) có phần ảo bằng \(\frac{1}{8}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{z_1} – 7i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 7i} \right|^2}\) bằng
A. \(16\).
B. \(28\).
C. \(14\).
D. \(56\).
Lời giải
Giả sử \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\).
Điều kiện \(z – |z|i \ne 0 \Leftrightarrow x + \left( {y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)i \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\).
Ta có: \(w = \frac{1}{{z – |z|i}} = \frac{1}{{x + \left( {y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)i}} = \frac{{x – \left( {y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}^2}}}\).
Theo giả thiết, ta có: \( – \frac{{y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{{{x^2} + {{\left( {y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}^2}}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow – 8\left( {y – \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = 2{x^2} + 2{y^2} – 2y\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
\( \Leftrightarrow 2y\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – 4} \right) = 2\sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 4\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} = y\end{array} \right.\).
Trường hợp 1: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x = 0\end{array} \right.\) .
Trường hợp 2: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16\).
Gọi \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;\;\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i\; \Rightarrow x_1^2 + y_1^2 = 16;\,\,x_2^2 + y_2^2 = 16\).
Ta có: \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow 0 \le {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2} \le 4\)\( \Rightarrow 0 \le \left| {{y_1} – {y_2}} \right| \le 2\).
Xét \(P = {\left| {{z_1} – 7i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 7i} \right|^2} = x_1^2 + {\left( {{y_1} – 7} \right)^2} – x_2^2 – {\left( {{y_2} – 7} \right)^2} = – 14\left( {{y_1} – {y_2}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le 14\left| {{y_1} – {y_2}} \right| \le 28\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\\left| {{y_1} – {y_2}} \right| = 2\\x_1^2 + y_1^2 = \,\,x_2^2 + y_2^2 = 16\end{array} \right.\).
Lấy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} = \sqrt {15} \\{y_1} = – {y_2} = 1\end{array} \right.\) thì \(P = 28\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P = 28\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời