DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Gọi \(S\) là tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 2} \right| = \sqrt 3 \) và \(\left( {z + 2i – 3} \right)\left( {\overline z – 1} \right)\) là số thuần ảo. Tính tổng các phần thực của các số phức trong \(S\).
A.\(4\).
B. \(2\sqrt 2 \).
C. \(4 + 2\sqrt 2 \).
D. \( – 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = a + bi\,\) trong đó \(a\,,\,b \in \mathbb{R}\).
Ta có:
+) \(\left| {z – 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a – 2} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 3\) \(\left( 1 \right)\).
+) \(w = \left( {z + 2i – 3} \right)\left( {\overline z – 1} \right) = \left[ {\left( {a – 3} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right].\left[ {\left( {a – 1} \right) – bi} \right]\)\( = \left( {{a^2} – 4a + 3 + {b^2} + 2b} \right) + \left( {2a + 2b – 2} \right)i\).
\(w\) là một số thuần ảo khi và chỉ khi \({a^2} – 4a + 3 + {b^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} + 2b – 1 = 0\) \(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 3\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} + 2b – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 3\\2b + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 2} \right)^2} = 2\\b = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \sqrt 2 \\b = – 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2 – \sqrt 2 \\b = – 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy, tổng các phần thực của các số phức trong \(S\) là \(4\).
Trả lời