Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 2 Cực trị của hàm số
Câu 1.17 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {{{x^2} + 8x – 24} \over {{x^2} – 4}}\)
b) \(f(x) = {x \over {{x^2} + 4}}\)
c) \(f(x) = x\sqrt {3 – x} \)
d) \(f(x) = {x^2} – 2\left| x \right| + 2\)
Giải
a) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = 5 và đạt cực tiểu tại điểm x = 4; f(4) = 2
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = – 2;{\rm{ }}f\left( { – 2} \right) = – {1 \over 4}\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2;{\rm{ }}f\left( 2 \right) = {1 \over 4}\)
c) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 2; f(2) = 2
d) Hàm số liên tục trên R
\(f(x) = \left\{ \matrix{{x^2} + 2x + 2;x < 0 \hfill \cr {x^2} – 2x + 2;x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)
\(f'(x) = \left\{ \matrix{2x + 2;x < 0 \hfill \cr 2x – 2;x > 0 \hfill \cr} \right.\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = – 1,x = 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0,f(0) = 2\) và đạt cực tiểu tại các điểm x = -1 và x = 1; \(f( – 1) = f(1) = 1\)
————
Câu 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = \sin {x^2} – \sqrt 3 {\rm{cos}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)
b) \(y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)
Giải
a) \(y’ = 2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x\)
\( = \sin x(2\cos x + \sqrt 3 )\)
Với \(0 < x < \pi \) ta có \(\sin x > 0\) . Do đó
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \cos x = – {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6}\)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)
Có thể áp dụng quy tắc 2
\(y’ = \sin 2x + \sqrt 3 \sin x;y” = 2\cos x + \sqrt 3 \cos x\)
\(y” = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6} \)
\(= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left( { – {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) = – {1 \over 2} < 0\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)
b) \(y’ = 2\cos x – 2\sin 2x = 2\cos x(1 – 2\sin x)\)
Với \(0 < x < \pi \) , ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\Leftrightarrow x = {\pi \over 2},x = {\pi \over 6},x = {{5\pi } \over 6}\) Ta áp dụng quy tắc 2 \(y” = – 2\sin x – 4\cos 2x\) \(y” = \left( {{\pi \over 2}} \right) = – 2\sin {\pi \over 2} – 4\cos x = 2 > 0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = {\pi \over 2};y\left( {{\pi \over 2}} \right) = 1\)
\(y”\left( {{\pi \over 6}} \right) = – 2\sin {\pi \over 6} – 4\cos {\pi \over 3} = – 3 < 0\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {\pi \over 6};y\left( {{\pi \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)
\(y” = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = – 2\sin {{5\pi } \over 6} – 4\cos x{{5\pi } \over 3} = – 3 < 0\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)
Câu 1.19 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Tìm a,b,c sao cho hàm số
$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$
đạt cực tiểu tại x=1, f(1)=-3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Giải:
Ta có: $f'(x)=3x^2+2ax+b$
theo đề bài ta có: đạt cực tiểu tại x=1 => f'(1) = 0 => 3 + 2a + b = 0
f(1)=-3 => 1+a+b+c=-3
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 => c=2
Từ đó ta có: a=3; b=-9; c=2
================
Câu 1.20 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Tìm các số thực p và q sao cho hàm số \(f(x) = x + p + {q \over {x + 1}}\)
Đạt cực đại tại điểm \(x = – 2{\rm{ }}\) và \({\rm{ }}f\left( { – 2} \right) = – 2\).
Giải
Ta có \(f'(x) = 1 – {q \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) với mọi \(x \ne – 1\) – Nếu \(q \le 0\) thì \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \ne – 1\).
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( { – 1; + \infty } \right)\) . Hàm số không có cực đại, cực tiểu.
– Nếu q > 0 thì phương trình
\(f'(x) = {{{x^2} + 2x + 1 – q} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\)
Có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = – 1 – \sqrt q \) và \({x_2} = – 1 + \sqrt q \)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_1} = – 1 – \sqrt q \) và đạt cực tiểu tại điểm \({x_2} = – 1 + \sqrt q \). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 khi và chỉ khi
\( – 1 – \sqrt q = – 2 \Leftrightarrow \sqrt q = 1 \Leftrightarrow q = 1\)
\(f(-2) = – 2 \Leftrightarrow p = 1\)
Trả lời