Câu 1.11 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho hàm số \(f(x) = 2{x^2}\sqrt {x – 2} \)
a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}2; + \infty )\)
b) Chứng minh rằng phương trình \(2{x^2}\sqrt {x – 2} = 11\) có một nghiệm duy nhất.
Giải
a) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right).\)
\(f(x) = 2\left( {2x\sqrt {x – 2} + {{{x^2}} \over {2\sqrt {x – 2} }}} \right) = {{x(5x – 8)} \over {\sqrt {x – 2} }} > 0\) với mọi \(x \in \left[ {2; + \infty } \right).\)
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right).\)
b) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right],f(2) = 0,f(3) = 18\) vì 0 < 11 < 18 nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực. \(c \in \left( {2;3} \right)\) sao cho f(c)= 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho. Vì hàm số f đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) nên c là nghiệm duy nhất của phương trình. ==============
Câu 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x + cosx\)
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m \in \left( { – 1;1} \right)\), phương trình \({\sin ^2}x + cosx = m\) có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
Giải
a) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) Ta có: \(f'(x) = 2\sin x\cos x – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\) \( = \sin x(2\cos x – 1),x \in \left( {0;\pi } \right)\) Vì khi đó sinx > 0 nên
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi \over 3}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\)và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\)
b)
+) Hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\), \(f\left( {{\pi \over 3}} \right) = {5 \over 4}\) và \(f(\pi) = -1\).
Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với mọi \(m \in \left( { – 1;1} \right) \subset \left( { – 1;{5 \over 4}} \right)\) tồn tại một số thực \(c \in \left( {{\pi \over 3};\pi } \right)\) sao cho f(c) = 0.
Số c là nghiệm của phương trình trong
b). Vì hàm số f nghịch biến trên \(\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\)nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.
+) Vì với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 3}} \right)\) ta có \(1 \le f(x) \le {5 \over 4}\) nên phưng trình đã nêu không có nghiệm \(m \in \left( { – 1;1} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\)
==============
Câu 1.13 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho hàm số \(f(x) = 2\sin x + \tan x – 3x\)
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Chứng minh rằng
\(2\sin x + \tan x > 3x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Giải
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) , ta có
\(f'(x) = 2\cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 3\)
\( = {{2{{\cos }^3}x – 3\cos x + 1} \over {{{\cos }^2}x}}\)
\( = {{{{(1 – cosx)}^2}(2\cos x + 1)} \over {{{\cos }^2}x}} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Từ a) suy ra \(f(x) > f(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
===================
Câu 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
a) Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \tan x – x\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Chứng minh rằng
\(\tan – x > x + {{{x^3}} \over 3}\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Giải
a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm
\(f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
b) Từ a) suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\), tức là
\(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – {{{x^3}} \over 3}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\)
Hàm số liên tục trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm
\(g'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1 – {x^2} – {\tan ^2}x – {x^2} > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\)
(vì \(\tan x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
============
Câu 1.15 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao
Cho hàm số \(f(x) = {4 \over \pi }x – \tan x,x \in \left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\)
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\)
b) Từ đó suy ra rằng: \(\tan x \le {4 \over \pi }x\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\)
Giải
a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\) và có đạo hàm
\(f'(x) = {4 \over \pi } – {1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{4 – \pi } \over \pi } – {\tan ^2}x,x \in \left( {0;{\pi \over 4}} \right)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt {{{4 – \pi } \over \pi }} \)
Dễ dàng thấy rằng \(0 < \sqrt {{{4 – \pi } \over \pi }} < 1 = \tan {\pi \over 4}\). Do đó tồn tại một số duy nhất \(\alpha \in \left( {0;{\pi \over 4}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = \sqrt {{{4 – \pi } \over \pi }} \)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\alpha} \right]\) và nghịch biến trên \(\left[ {\alpha ;{\pi \over 4}} \right]\)
b) Theo bảng biến thiên ta có
\(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;{\pi \over 4}} \right]\)
Từ đó có bất đẳng thức cần chứng minh.
Trả lời