Bài 3. Phép chia số phức – SBT Toán lớp 12 – Giải tích 12
Bài 4.18 trang 207 Toán 12
Thực hiện các phép tính sau:
a) \({{(2 + i) + (1 + i)(4 – 3i)} \over {3 + 2i}}\)
b) \({{(3 – 4i)(1 + 2i)} \over {1 – 2i}} + 4 – 3i\)
Giải
a)
\({{(2 + i) + (1 + i)(4 – 3i)} \over {3 + 2i}}\)
\(={{31} \over {13}} – {{12} \over {13}}i\)
b)
\({{(3 – 4i)(1 + 2i)} \over {1 – 2i}} + 4 – 3i\)
\(={{27} \over 5} + {9 \over 5}i\)
Câu 4.19 trang 207
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \((3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)\)
b) \(2ix + 3 = 5x + 4i\)
c) \(3x(2 – i) +1 = 2ix(1 + i) + 3i\)
Hướng dẫn làm bài
a) \((3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)\)
\(x = {{(1 + 2i)(4 + i)} \over {3 + 4i}}\)
\(= {{42} \over {25}} + {{19} \over {25}}i\)
b)
\(2ix + 3 = 5x + 4i\)
\(x = {{ – 3 + 4i} \over { – 5 + 2i}}\)
\(= {{23} \over {29}} – {{14} \over {29}}i\)
c) \(3x(2 – i) +1 = 2ix(1 + i) + 3i\)
\(x = {{ – 1 + 3i} \over {8 – 5i}}\)
\(= {{ – 23} \over {89}} + {{19} \over {89}}i\)
Bài 4.20
Chứng minh rằng:
a) \(\overline {({{{z_1}} \over {{z_2}}})} = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\)
b) \(|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\)
Hướng dẫn giải
a) Giả sử \({{{z_1}} \over {{z_2}}} = z\) . Ta có: \({z_1} = z.{z_2} = > {\bar z_1} = \bar z.{\bar z_2} < = > \bar z = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\)
Vậy \((\overline {{{{z_1}} \over {{z_2}}})} = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\)
b) Tương tự, \(|{z_1}| = |z.{z_2}| = |z|.|{z_2}|\) hay \(|z| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\) .
Vậy \(|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\)
Bài 4.21 trang 207
a) Cho số phức z. Chứng minh rằng z là số thực khi và chỉ khi \(z = \bar z\)
b) Chứng tỏ rằng số phức sau là một số thực: \(z = – {{3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}}\)
Giải
a) Hiển nhiên \(z \in R\) thì \(z = \bar z\) . Ngược lại, giả sử z = a + bi và \(z = \bar z\). Từ đó suy ra
a + bi = a – bi và do đó b = – b hay b = 0.
Vậy \(z \in R\)
b) Ta có \(z = {{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}}\),
suy ra \(\bar z = \overline {({{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} + {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}})} = \overline {({{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}})} + \overline {({{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}})} \)\( = \overline {{{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}}} + \overline {{{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}}} = {{ – 3 + 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 – 3i}} + {{ – 3 – 2i\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 + 3i}} = z\)
Vậy \(z \in R\).
Bài 4.22 Sách bài tập Giải tích 12
Tìm nghịch đảo của số phức sau:
a) \(\sqrt 2 – i\sqrt 3 \)
b) i
c) \({{1 + i\sqrt 5 } \over {3 – 2i}}\)
d) \({(3 + i\sqrt 2 )^2}\)
Hướng dẫn làm bài
a) \({1 \over {\sqrt 2 – i\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2 + i\sqrt 3 } \over 5} = {{\sqrt 2 } \over 5} + {{\sqrt 3 } \over 5}i\)
b) \({1 \over i} = – i\)
c) \({{3 – 2i} \over {1 + i\sqrt 5 }} = {{(3 – 2i)(1 – i\sqrt 5 )} \over 6} = {{3 – 2\sqrt 5 } \over 6} – {{3\sqrt 5 + 2} \over 6}i\)
d) \({1 \over {{{(3 + i\sqrt 2 )}^2}}} = {{{{(3 – i\sqrt 2 )}^2}} \over {121}} = {7 \over {121}} – {{6\sqrt 2 } \over {121}}i\)
Bài 4.23 trang 208
Giải phương trình sau trên tập số phức:
\((1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i\)
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Hướng dẫn làm bài
\(\eqalign{
& \left( {1 – i} \right)z + \left( {2 – i} \right) = 4 – 5i \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – i} \right)z = 4 – 5i – 2 + i \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 – i} \right)z = 2 – 4i \cr
& \Leftrightarrow t = {{2 – 4i} \over {1 – i}} \cr
& = {{\left( {2 – 4i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over {1 + 1}} = {{2 + 2i + 4i + 4} \over 2} = 3 – i \cr} \)
Bài 4.24 SBT Toán 12 trang 208
Tìm các số phức \(2z + \bar z\) và \({{25i} \over z}\) biết rằng z = 3 – 4i
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012)
Lời giải
\(\eqalign{
& 2z + \bar z = 2\left( {3 – 4i} \right) + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6 – 8i + 3 + 4i \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9 – 4i \cr} \)
\(\eqalign{
& {{25i} \over z} = {{25i} \over {\left( {3 – 4i} \right)}} \cr
& = {{25i\left( {3 + 4i} \right)} \over {\left( {3 – 4i} \right)\left( {3 + 4i} \right)}} \cr
& = {{75i + 100{i^2}} \over {{3^2} – {{\left( {4i} \right)}^2}}} \cr
& = {{75i – 100} \over {25}} = 3i – 4 \cr} \)
Trả lời