Giải SBT Bài 1+Bài 2. Phép biến hình. Phép tịnh tiến – Chương 1 Hình học 11

Bài 1.1 trang 12 SBT Hình 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow v  = \left( {2; – 1} \right)\) , điểm M = (3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho :

a) \(A = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\)

b) \(M = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)\)

Giải:

 a) Giả sử \(A = \left( {x;y} \right)\) . Khi đó

\(A\left\{ \matrix{
x = 3 + 2 \hfill \cr
y = 2 – 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 5 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A = \left( {5;1} \right)\)

b) Giả sử \(A = \left( {x;y} \right)\) . Khi đó

\(\left\{ \matrix{
3 = x + 2 \hfill \cr
2 = y – 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 3 – 2 \hfill \cr
y = 2 + 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A = \left( {1;3} \right)\)

Bài 1.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng \(\overrightarrow v  = \left( { – 2;1} \right)\) cho, đường thẳng d có phương trình \(2x – 3y + 3 = 0\) , đường thẳng d₁ có phương trình \(2x – 3y – 5 = 0\).

a)  Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

b)  Tìm tọa độ của \(\overrightarrow w \) có giá vuông góc với đường thẳng d để d₁ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow w }}\).

Giải:

a)  Lấy một điểm thuộc d ,chẳng hạn \(M = \left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(M’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = \left( {0 – 2;1 + 1} \right) = \left( { – 2;2} \right)\) thuộc d’. Vì d’ song song với d nên phương trình của nó có dạng \(2x – 3y + C = 0\). Do \(M’ \in d’\) nên \(2.\left( { – 2} \right) – 3.2 + C = 0\) . Từ đó suy ra C = 10 . Do đó d’ có phương trình \(2x – 3y + 10 = 0\) .

b)  Lấy một điểm thuộc d ,chẳng hạn \(M = \left( {0;1} \right)\). Đường thẳng \({d_2}\) qua M vuông góc với  có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v  = \left( {2; – 3} \right)\). Do đó phương trình của \({d_2}\) là \({{x – 0} \over 2} = {{y – 1} \over { – 3}}\). Gọi M’ là giao của \({d_1}\) với \({d_2}\) thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
2x – 3y – 5 = 0 \hfill \cr
3x + 2y – 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = {{16} \over {13}} \hfill \cr
y = – {{11} \over {13}} \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow w  = \overrightarrow {MM’}  = \left( {{{16} \over {13}}; – {{24} \over {13}}} \right)\).

Bài 1.3 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x – y – 9 = 0\). Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.

Giải:

Giao của d với trục Ox là điểm \(A\left( {3;0} \right)\). Phép tịnh tiến phải tìm có vectơ tịnh tiến \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {AO}  = \left( { – 3;0} \right)\). Đường thẳng d’ song song với d và đi qua gốc tọa độ nên nó có phương trình \(3x – y = 0\).

Bài 1.4 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} – 2x + 4y – 4 = 0\). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { – 2;5} \right)\).

Giải:

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm \(I\left( {1; – 2} \right)\), bán kính \(r = 3\).Gọi \(I’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) = \left( {1 – 2; – 2 + 5} \right) = \left( { – 1;3} \right)\) và (C’) là ảnh của (C) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) thì (C’) là đường tròn tâm (I’) bán kính \(r = 3\). Do đó (C’) có phương trình:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 9\)

Cách 2.  Biểu thức tọa độ của \({T_{\overrightarrow v }}\) là

\(\left\{ \matrix{
x’ = x – 2 \hfill \cr
y’ = y + 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = x’ + 2 \hfill \cr
y = y’ – 5 \hfill \cr} \right.\)

Thay vào phương trình của (C) ta được

\(\eqalign{
& {\left( {x’ + 2} \right)^2} + {\left( {y’ – 5} \right)^2} – 2\left( {x’ + 2} \right) + 4\left( {y’ – 5} \right) – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x{‘^2} + y{‘^2} + 2x’ – 6y’ + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x’ + 1} \right)^2} + {\left( {y’ – 3} \right)^2} = 9 \cr} \)

Do đó (C’) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 9\)

Bài 1.5 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

Giải:

Do tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {MM’} \) là. Từ đó suy ra M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BA} \) .Từ đó suy ra tập hợp các điểm M’ là đường tròn (C’) , ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BA} \) .