Bài 1. Tính \(\int {{{dx} \over {\sqrt {1 – x} }}} \) , kết quả là:
A. \({C \over {\sqrt {1 – x} }}\) B. \(C\sqrt {1 – x} \)
C. \( – 2\sqrt {1 – x} + C\) D. \({2 \over {\sqrt {1 – x} }} + C\)
Trả lời:
Ta có:
\(\int {{{dx} \over {\sqrt {1 – x} }}} = – \int {{{d(1 – x)} \over {\sqrt {1 – x} }}} = – 2\sqrt {1 – x} + C\)
Chọn đáp án C
=============
Bài 2. Tính \(\int {{2^{\sqrt x }}} {{\ln 2} \over {\sqrt x }}dx\) , kết quả sai là:
A. \({2^{\sqrt x + 1}} + C\) B. \(2({2^{\sqrt x }} – 1) + C\)
C. \(2({2^{\sqrt x }} + 1) + C\) D. \({2^{\sqrt x }} + C\)
Trả lời:
Ta có:
\(\int {{2^{\sqrt x }}} .{{\ln 2} \over {\sqrt x }}dx = 2\int {{2^{\sqrt x }}.\ln 2.d(\sqrt x } ) = {2.2^{\sqrt x }} + C\)
Chọn đáp án D
===============
Bài 3. Tích phân \(\int_0^\pi {{{\cos }^2}} x\sin xdx\) bằng:
A. \({{ – 2} \over 3}\) B. \({2 \over 3}\)
C. \({3 \over 2}\) D. 0
Trả lời:
\(\eqalign{
& \int_0^\pi {{{\cos }^2}} x\sin xdx = – \int_0^\pi {{{\cos }^2}xd(cosx)} \cr
& = – \left[ {{{{{\cos }^3}x} \over 3}} \right]\left| {_0^\pi } \right. = {2 \over 3} \cr} \)
Chọn đáp án B
===============
Bài 4. Cho hai tích phân \(\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx,} \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \) , hãy chỉ ra khẳng định đúng:
A. \(\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} > \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)
B. \(\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} < \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)
C. \(\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)
D. Không so sánh được
Trả lời:
Nếu đặt \(u = {\pi \over 2} – x\) thì
\(\eqalign{
& \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}x = \int_{{\pi \over 2}}^0 {{{\sin }^2}} } ({\pi \over 2} – u)( – du) \cr
& = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}} udu = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}} xdx \cr} \)
Chọn đáp án C
==============
Bài 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
a) y = \(x^3\) và \(y = x^5\) bằng:
A. 0 B. -4 C. \({1 \over 6}\) D. 2
b) \(y = x + sinx\) và \(y = x\) (0 ≤ x ≤ 2π)
A. -4 B. 4 C. 0 D. 1
Trả lời:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:
\( x^5= x^3⇔ x = 0\) hoặc \(x = ±1\)
Do đó: Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(\eqalign{
& S = \left| {\int_{ – 1}^0 {({x^3} – {x^5})dx} } \right| + \left| {\int_0^1 {({x^3} – {x^5})dx} } \right| = \left| {\left[ {{{{x^4}} \over 4} – {{{x^6}} \over 6}} \right]} \right|\left| {_{ – 1}^0} \right. + \left| {\left[ {{{{x^4}} \over 4} – {{{x^6}} \over 6}} \right]} \right|\left| {_{ – 1}^0} \right. \cr
& = \left| { – {1 \over 4} + {1 \over 6}} \right| + \left| {{1 \over 4} – {1 \over 6}} \right| = {1 \over 6} \cr} \)
Chọn đáp án C
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:
\(x + sinx = x\) (\(0 ≠ x ≠ 2x\))\( ⇔ sinx = 0 ⇔ x = 0; x = π; x = 2π\)
Do đó, diện tích hình bằng là:
\(\eqalign{
& S = \left| {\int_0^\pi {\sin {\rm{x}}dx} } \right| + \left| {\int_\pi ^{2\pi } {\sin {\rm{x}}dx} } \right| \cr
& = \left| {\left[ { – \cos } \right]\left| {_0^\pi } \right.} \right| + \left| {\left[ { – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_\pi ^{2\pi }} \right.} \right| = 2 + 2 = 4 \cr} \)
Chọn đáp án B
==============
Bài 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \( y = \sqrt x\) và \(y = x\) quay xung quanh trục \(Ox\). Thể tích của khối tròn xoay tại thành bằng:
A. 0 B. \(– π\)
C. \(π\) D. \({\pi \over 6}\)
Trả lời:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \(y = \sqrt x\) và \(y = x\) là:
\(x = \sqrt x ⇔ x = 0\) hoặc \(x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
\(V = \pi \int_0^1 {(x – {x^2}} )dx = \pi \left[ {{{{x^2}} \over 2} – {{{x^3}} \over 3}} \right]\left| {_0^1} \right. = {\pi \over 6}\)
Chọn đáp án D.
Trả lời