Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

———–

Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x – x^2\).

b) \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2\).

c) \(y = x^4 – 2x^2 + 3\).

d) \(y = -x^3 + x^2 – 5\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số \(y = 4 + 3x – x^2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(y’ = 3 – 2x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 3-2x=0\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Với \(x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (\(-\infty\); \(\frac{3}{2}\)) và nghịch biến trên khoảng (\(\frac{3}{2}\); \(+\infty\)).

Câu b: 

Xét hàm số \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)

\(y’ = {x^2} + 6x – 7 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = – 7 \end{array} \right..\)

Với \(x=-7 \Rightarrow y=\frac{239}{3}\)

Với \(x=1 \Rightarrow y=-\frac{17}{3}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (\(-\infty\) ; -7), (1 ; \(+\infty\)) và nghịch biến trên khoảng (-7;1).

Câu c: 

Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)

\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} – 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

Với x=-1 ta có y=2.

Với x=0 ta có y=0.

Với x=1 ta có y=2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1 ; 0), (1 ; +\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (0 ; 1)\).

Câu d: 

Xét hàm số \(y = -x^3 + x^2 – 5\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(\begin{array}{l} y’ = – 3{x^2} + 2x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)

Với \(x=0\Rightarrow y=-5.\)

Với \(x=\frac{2}{3}\Rightarrow -\frac{131}{27}.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(( 0 ; \frac{2}{3} )\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; 0), ( \frac{2}{3}; +\infty).\)

Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) ; b) \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\) ;

c) \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\) ; d) \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số  \(y=\frac{3x+1}{1-x}\)

Tập xác định:\(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\) .
\(y’=\frac{4}{(1-x)^{2}}> 0, \forall x \neq 1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( -\infty; 1), (1 ; +\infty)\).

Nhận xét: Xét hàm số phân thức bậc nhât trên bậc nhất (Hàm nhất biến) \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\left ( ad-bc \ne 0,c\ne0 \right )\):

• Hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( {-\frac{d}{c}; + \infty } \right).\)
• Công thức tính nhanh đạo hàm \(y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.\)

Câu b: 

Xét hàm số \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\).
\(y’=\frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0, \forall x \neq 1\) .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng: \((-\infty ; 1), (1 ; +\infty)\).

Câu c: 

Xét hàm số \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\)

Tập xác định: D = (\(-\infty\);-4] ∪ [5 ;\(+\infty\)).

\(y’=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}, \forall x \in (-\infty ; -4) \cup (5 ; +\infty)\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5 ; +\infty)\).

Câu d: 

Xét hàm số \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\)

Tập xác định : \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ -3 ; 3 \right \}\).

\(y’=\frac{-2(x^{2}+9)}{\left (x^{2}-9 \right )^{2}} < 0, \forall x \in D.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng : \((-\infty ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +\infty)\).

Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y’ = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)’ = \frac{{x'({x^2} + 1) – ({x^2} + 1)’x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\)

\(= \frac{{{x^2} + 1 – 2{x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \Leftrightarrow 1 – {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với \(x=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\).

Với \(x=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (1; +\infty).\)

Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\)

Tập xác định:  \(D = \left [ 0 ; 2 \right ];\)

\(y’ = \frac{{2 – 2x}}{{2\sqrt {2x – {x^2}} }} = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).

Vậy ta có điều phải chứng minh.
=====

Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)

b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Lời giải:

Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5:

Câu a:

Để chứng minh \(tanx >x\) với mọi \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta chứng minh:

\(tanx-x>0\) với mọi \(0<x<\frac{\pi}{2}\).

Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Dễ thấy: \(tan(0)-0=0.\)

Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau:

Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\)

\(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1={tan^2}x > 0\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Vậy với \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta có: \(f(x)>f(0)=0 \Rightarrow tan x>x\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Câu b:

Chứng minh \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Tương tự câu a.

Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) có đạo hàm:

\(g'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1 – {x^2} = {\tan ^2}x – {x^2}\)

\(= (tanx – x)(tanx + x) > 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)  (Theo câu a)

\(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy với \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta có: \(g(x)>g(0)=0 \Rightarrow tan x>x+\frac{x^3}{3}\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

— hết —-