• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Giải bài tập Toán 12 / Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

Đăng ngày: 12/06/2017 Biên tâp: admin 13 Bình luận Thuộc chủ đề:Giải bài tập Toán 12

Mục lục:

  1. Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12
  2. Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12
  3. Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12
  4. Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12
  5. Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB

———–


Bài tập 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x – x^2\).

b) \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2\).

c) \(y = x^4 – 2x^2 + 3\).

d) \(y = -x^3 + x^2 – 5\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Phương pháp giải:

Với bài toán xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ta thực hiện bốn bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

​Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bên cạnh đó các em cần ôn lại các định lý về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đã học ở lớp 10 để xét dấu đạo hàm của các hàm số một cách chính xác nhất.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số \(y = 4 + 3x – x^2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(y’ = 3 – 2x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 3-2x=0\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Với \(x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (\(-\infty\); \(\frac{3}{2}\)) và nghịch biến trên khoảng (\(\frac{3}{2}\); \(+\infty\)).

Câu b: 

Xét hàm số \(y =\frac{1}{3} x^3 + 3x^2 – 7x – 2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)

\(y’ = {x^2} + 6x – 7 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = – 7 \end{array} \right..\)

Với \(x=-7 \Rightarrow y=\frac{239}{3}\)

Với \(x=1 \Rightarrow y=-\frac{17}{3}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (\(-\infty\) ; -7), (1 ; \(+\infty\)) và nghịch biến trên khoảng (-7;1).

Câu c: 

Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)

\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} – 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

Với x=-1 ta có y=2.

Với x=0 ta có y=0.

Với x=1 ta có y=2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1 ; 0), (1 ; +\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (0 ; 1)\).

Câu d: 

Xét hàm số \(y = -x^3 + x^2 – 5\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R};\)
\(\begin{array}{l} y’ = – 3{x^2} + 2x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{2}{3} \end{array} \right. \end{array}\)

Với \(x=0\Rightarrow y=-5.\)

Với \(x=\frac{2}{3}\Rightarrow -\frac{131}{27}.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(( 0 ; \frac{2}{3} )\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; 0), ( \frac{2}{3}; +\infty).\)

Bài tập 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) ; b) \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\) ;

c) \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\) ; d) \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Phương pháp giải:

Với bài toán tìm khoản đơn điệu của hàm số, ta giải theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

​Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Với các bước làm như trên chúng ta làm câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a: 

Xét hàm số  \(y=\frac{3x+1}{1-x}\)

Tập xác định:\(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\) .
\(y’=\frac{4}{(1-x)^{2}}> 0, \forall x \neq 1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( -\infty; 1), (1 ; +\infty)\).

Nhận xét: Xét hàm số phân thức bậc nhât trên bậc nhất (Hàm nhất biến) \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\left ( ad-bc \ne 0,c\ne0 \right )\):

  • Hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{d}{c}} \right)\) và \(\left( {-\frac{d}{c}; + \infty } \right).\)
  • Công thức tính nhanh đạo hàm \(y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.\)

Câu b: 

Xét hàm số \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\).
\(y’=\frac{-x^{2}+2x-2}{(1-x)^{2}}< 0, \forall x \neq 1\) .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng: \((-\infty ; 1), (1 ; +\infty)\).

Câu c: 

Xét hàm số \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\)

Tập xác định: D = (\(-\infty\);-4] ∪ [5 ;\(+\infty\)).

\(y’=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}, \forall x \in (-\infty ; -4) \cup (5 ; +\infty)\).

Bảng biến thiên:


Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; -4)\) và đồng biến trên khoảng \((5 ; +\infty)\).

Câu d: 

Xét hàm số \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\)

Tập xác định : \(D = \mathbb{R} \setminus \left \{ -3 ; 3 \right \}\).

\(y’=\frac{-2(x^{2}+9)}{\left (x^{2}-9 \right )^{2}} < 0, \forall x \in D.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng : \((-\infty ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +\infty)\).

Bài tập 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\) đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phương pháp giải:

Với bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=f(x) ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số, tính đạo hàm f'(x), giải phương trình f'(x)=0, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\frac{x}{x^{2}+1}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
\(y’ = \left( {\frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)’ = \frac{{x'({x^2} + 1) – ({x^2} + 1)’x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\)

\(= \frac{{{x^2} + 1 – 2{x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – {x^2}}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \Leftrightarrow 1 – {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với \(x=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\).

Với \(x=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; -1), (1; +\infty).\)

Bài tập 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\) đồng biến trên khoảng \((0 ; 1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((1 ; 2)\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Phương pháp giải:

Bài 4 một bài toán khảo sát tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức, để giải bài ta cũng thực hiên qua 4 bước:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

​Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Sau khi khảo sát xong tính đơn điệu của hàm số ta sẽ có được điều phải chứng minh theo yêu cầu của bài 4.

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\sqrt{2x-x^{2}}\)

Tập xác định:  \(D = \left [ 0 ; 2 \right ];\)

\(y’ = \frac{{2 – 2x}}{{2\sqrt {2x – {x^2}} }} = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).

Vậy ta có điều phải chứng minh.
=====

Bài tập 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  \(\tan x > x (0 < x <\frac{\pi }{2} )\)

b) \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Phương pháp giải:

Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh \(g(x)>h(x)\) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau:

Bước 1: \(g(x)>h(x)\Leftrightarrow g(x)-h(x)>0.\)

Bước 2: Đặt \(f(x)=h(x)-g(x)\), khảo sát tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\).

Bước 3: Tìm x để \(f(x)=0\) (thường là hai đầu mút của miền đang xét).

Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) đưa ra kết luận cho bài toán.

Lời giải:

Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5:

Câu a:

Để chứng minh \(tanx >x\) với mọi \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta chứng minh:

\(tanx-x>0\) với mọi \(0<x<\frac{\pi}{2}\).

Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Dễ thấy: \(tan(0)-0=0.\)

Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau:

Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\)

\(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1={tan^2}x > 0\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Vậy với \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta có: \(f(x)>f(0)=0 \Rightarrow tan x>x\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Câu b:

Chứng minh \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\)

Tương tự câu a.

Xét hàm số \(g(x) = \tan x – x – \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) có đạo hàm:

\(g'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1 – {x^2} = {\tan ^2}x – {x^2}\)

\(= (tanx – x)(tanx + x) > 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)  (Theo câu a)

\(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy với \(0<x<\frac{\pi}{2}\) ta có: \(g(x)>g(0)=0 \Rightarrow tan x>x+\frac{x^3}{3}\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\).

Nhận xét:

Với dạng bài tập chứng minh f(x)>0 với x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) và f(b) đề khác không, hoặc f(x) không xác định tại a và b. Thì f(x)=0 tại x0, với x0 là nghiệm của phương trình f'(x)=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét.

— hết —-

Tag với:DON DIEU HAM SO, GBT giai tich 12 chuong 1

Bài liên quan:

  • TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – Toán VD-VDC
  • TỔNG ÔN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
  • Phát triển câu 10 đề tốt nghiệp THPT 2020 – Đơn điệu hàm số
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  • Chuyên đề đơn điệu hàm số
  • Giải bài tập ôn tập chương I – Giải Tích 12 CB
  • Giải bài tập Cực trị của hàm số – giải tích 12 CB
  • Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB
  • Giải bài tập Đường tiệm cận – giải tích 12 CB
  • Giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số – giải tích 12 CB

Reader Interactions

Bình luận

  1. Trần Luật Phong viết

    10/09/2018 lúc 9:09 chiều

    Vẫn không hiểu lắm bài 5

    Trả lời
  2. Tình Nông viết

    02/09/2018 lúc 8:20 sáng

    câu b bài 2 sao ra y’: −x2+2x−2 / (1−x)2 vậy ad mình không tính ra được.

    Trả lời
    • admin viết

      06/09/2018 lúc 5:57 chiều

      Bạn dùng công thức đạo hàm $u \over v$ rút gọn lại là ra kết quả đó.

      Trả lời
  3. Nguyễn Thị Lan Anh viết

    12/06/2018 lúc 4:17 chiều

    Câu 4 đáp án là đồng biến [0,1); nghịch biến (1,2]

    Trả lời
  4. phu viết

    03/01/2018 lúc 11:12 chiều

    Giai sai r ad oi

    Trả lời
  5. anh viết

    09/09/2017 lúc 5:22 chiều

    Ad ơi tại sao tan^2 x-x^2 >0 ạ

    Trả lời
    • admin viết

      09/09/2017 lúc 7:07 chiều

      tan^2 x-x^2 =(tanx–x)(tanx+x)>0,∀x∈(0;π/2) (Theo câu a. tanx–x>0)

      Trả lời
  6. admin viết

    08/09/2017 lúc 1:51 chiều

    Bổ sung tiếp bài 4:
    Bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).

    Vậy ta có điều phải chứng minh.

    Trả lời
  7. Sun viết

    07/09/2017 lúc 8:36 chiều

    Ad giải thích rõ hộ e câu 3 với, tks ạ

    Trả lời
    • admin viết

      08/09/2017 lúc 1:48 chiều

      Em xem tiếp BBT
      Bảng biến thiên:

      Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1); nghịch biến trên các khoảng
      (−∞;−1),(1;+∞). (đpcm)

      Trả lời
  8. thanh viết

    06/09/2017 lúc 3:42 chiều

    Ad làm sai rồi.phần a bài 2 trang 10 .kết quả phải đồnh biến chứ.sửa lại nhá.nhiều lỗi lắm

    Trả lời
    • admin viết

      06/09/2017 lúc 7:46 chiều

      Vâng, OK bạn, Sách đã tính đạo hàm sai bài 2 câu a. các bạn sửa lại dùm, y’=4/mẫu^2 > 0 hàm số đồng biến. Các kết luận bài này sửa lại đồng biến.

      Trả lời
    • Trường viết

      25/05/2019 lúc 10:45 sáng

      Cả câu 1c nữa

      Trả lời

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương II: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương III: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương IV: SỐ PHỨC
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương I KHỐI ĐA DIỆN 
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương II MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU  
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương III: PP Tọa độ trong không gian
  • Giải Bài Tập Toán 12 nâng cao




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.