Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ – Hình học 10
********
Câu 1 (Trang 12 SGK)
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho $AM > MB$. Vẽ các vec tơ $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}$.
Hướng dẫn giải:
Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho: $\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{MB}$
=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}=$\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AC}$
<=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}$
Tương tự: $\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+(-\overrightarrow{MB})$
<=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}$.
Câu 2 (Trang 12 SGK)
Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$
Hướng dẫn giải:
Vì ABCD là hình bình hành => $\overrightarrow{BA} =-\overrightarrow{DC}$
=> $\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$
Mặt khác: $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})$
<=>$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$
<=> $\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ (đpcm)
Câu 3 (Trang 12 SGK)
Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có:
a) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$
b) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$
Hướng dẫn giải:
Ta có:
a) $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$
= $(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})$
= $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ (đpcm)
b) $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}$
$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}$
=> $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ (đpcm)
Câu 4 (Trang 12 SGK)
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS.
Chứng minh rằng: $\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{IB}$
$\overrightarrow{CS} =-\overrightarrow{RA}$
$\overrightarrow{PC} =-\overrightarrow{BQ}$
=> $\overrightarrow{RJ} +\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}
= $(\overrightarrow{RA} +\overrightarrow{AJ})+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ})(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS})$
= $(\overrightarrow{RA} +\overrightarrow{-IB})+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{-PC})+(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{-RA})$
= $(\overrightarrow{IB} +\overrightarrow{-IB})+(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{-PC})+(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{-RA})=\overrightarrow{0}$ ( đpcm )
Câu 5 (Trang 12 SGK)
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có : $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
=> $\left |\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right |=AC=a$
Kẻ $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BC}$
=> $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Mà ABCD là hình thoi => I là trung điểm BD và vuông tại I.
=> $BI=AB\sin A=a\sin 60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
=> $BD=2BI=a\sqrt{3}$
=> $\left |\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC} \right |=a\sqrt{3}$.
Câu 6 (Trang 12 SGK)
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$
b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}$
c) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
a) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}$
= $\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}$
= $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (đpcm)
b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$
= $\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{BC})$
= $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}$
= $\overrightarrow{DB}$ (đpcm)
c) Ta có : $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$
Mà $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$
=> $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ (đpcm)
d) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
= $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$
= $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$ (đpcm)
Câu 7 (Trang 12 SGK)
Cho vectơ a, b là hai vectơ khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:
a) $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$
b) $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$
Hướng dẫn giải:
a) Để $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$ xảy ra
<=> $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.
b) Để $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |=\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$ xảy ra
<=> $\overrightarrow{a}$ vuông góc với $\overrightarrow{b}$.
Câu 8 (Trang 12 SGK)
Cho $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= \overrightarrow{0}$.
So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra: $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= \overrightarrow{0}$
=> $\overrightarrow{a} =-\overrightarrow{b}$
=> Hai vec tơ cùng phương , cùng độ lớn và ngược chiều.
Câu 9 (Trang 12 SGK)
Chứng minh rằng : $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Nếu $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$
=> AB // CD
AB = CD
=> ABCD là hình bình hành.
Khi đó AD và BC có trung điểm trùng nhau.
Mặt khác: Nếu trung điểm AD và BC trùng nhau
=> Tứ giác ABCD là hình bình hành.
=> $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CD}$ (đpcm )
Câu 10 (Trang 12 SGK)
Cho ba lực $\overrightarrow{F_{1}} =\overrightarrow{MA}$ ; $\overrightarrow{F_{2}} =\overrightarrow{MB}$ , $\overrightarrow{F_{3}} =\overrightarrow{BC}$ cùng tác động
vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của hai lực $F_{1}, F_{2}$ đều là 100N và $\widehat{AMB}=60^{\circ}$.
Tìm cường độ và hướng của lực $F_{3}$.
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra: $MA=MB=100N$
$\widehat{AMB}=60^{\circ}$
=> $\triangle AMB$ là tam giác đều.
=> $MH=\frac{MA\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}(N)$
Vì AMBC là hình thoi => MC = 2MH.
=> $MC = 100\sqrt{3}(N)=F_{3}$
Vậy $F_{3}=100\sqrt{3}(N)$ và có hướng là tia phân giác của $\widehat{AMB}$.
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
Trả lời