Giải bài tập SGK Bài 2 Các phương pháp tính Nguyên hàm – Giải tích 12 nâng cao
Bài 5 . Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(a)\,f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}\) \(b)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\)
\(c)\,f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 – {x^2}} \) \(d)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)
Giải
a) Đặt \(u = \sqrt {1 – {x^3}} \Rightarrow {u^2} = 1 – {x^3} \Rightarrow 2udu = – 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = – {2 \over 3}udu\)
Ta có: \(\int {{{9{x^2}} \over {\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} = \int {{{9.{-2 \over 3}udu} \over u} = – 6\int {du = – 6u + C = – 6\sqrt {1 – {x^3}} + C} } \)
b) Đặt \(u = \sqrt {5x + 4} \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\)
Do đó: \(\int {{{dx} \over {\sqrt {5x + 4} }}} = \int {{{2udu} \over {5u}} = {2 \over 5}u + C = {2 \over 5}\sqrt {5x + 4} + C} \)
c) Đặt \(u = \root 4 \of {1 – {x^2}} \Rightarrow {u^4} = 1 – {x^2} \Rightarrow 4{u^3}du = – 2xdx \Rightarrow xdx = – 2{u^3}du\)
Do đó: \(\int {x\root 4 \of {1 – {x^2}} dx = \int { – 2{u^4}du} = -{{2{u^5}} \over 5} + C = – {2 \over 5}\root 4 \of {\left( {1 – {x^2}} \right)5\,} + C} \)
d) Đặt \(u = 1 + \sqrt x \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\)
\(\,\,\, \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}} = \int {{{2u} \over {{u^2}}}} = – {2 \over u} + C = – {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\)
================
Bài 6 . Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = x\sin x{x \over 2};\) b) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)
\(c)\,f\left( x \right) = x{e^x};\) \(d)\,f\left( x \right) = {x^3}\ln x\)
Giải
a) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {x\sin x{x \over 2}dx} = – 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx = – 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C} \)
b) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} – 2\int {x\sin xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Tính \(\int {x\sin xdx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – \cos x \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {x\sin xdx = – x\cos x + \int {\cos xdx = – x\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + } } \,C\)
Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x\cos x – 2\sin x + C} \)
c) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} – \int {{e^x}dx} = x{e^x} – {e^x}} + C\)
d) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x} – {1 \over 4}\int {{x^3}dx} = {1 \over 4}x^4\ln x – {{{x^4}} \over {16}} + C\)
===============
Bài 7 . Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 – 3{x^2}} ;\)
\(b)\,f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\)
c) \(f\left( x \right) = – {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\)
d) \(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\)
Giải
a) Đặt \(u = \sqrt {7 – 3{x^2}} \Rightarrow {u^2} = 7 – 3{x^2} \Rightarrow 2udu = – 6xdx \Rightarrow 3xdx = – udu\)
Do đó \(\int {3x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx = – \int {{u^2}du = – {{{u^3}} \over 3} + C} = – {1 \over 3}\sqrt {{{\left( {7 – 3{x^2}} \right)}^3}} + C} \)
b) \(\int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx = {1 \over 3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C} \)
c) \(\int {{{dx} \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = {1 \over 3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C} \)
d) Đặt \(u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\)
Do đó \(\int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du = {{{u^6}} \over 2} + C = {1 \over 2}{{\sin }^6}\left( {{x \over 3}} \right) + C.} } \)
=================
Bài 8 . Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} – 1} \right);\)
b) \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};\)
c) \(f\left( x \right) = {x^3}{e^x};\)
d) \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}.\)
Giải
a) Đặt \(u = {{{x^3}} \over {18}} – 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du\)
Do đó \(\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} – 1} \right)}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} } + C = {\left( {{{{x^3}} \over {18}} – 1} \right)^6} + C\)
b) Đăt \(u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du = – {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx \Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx = – du\)
\( \Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx = – \int {udu = – {{{u^2}} \over 2} + C = – {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C} } \)
c) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^3} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 3{x^2}dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} – 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} } \)
Tính \({I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} – 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)} \)
Tính \({I_2} = \int {x{e^x}dx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {I_2} = x{e^x} – \int {{e^x}dx = {e^x}\left( {x – 1} \right) + C} \)
Thay \({I_2}\) vào (2) ta được: \({I_1} = {x^2}{e^x} – 2{e^x}\left( {x – 1} \right) = {e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + C\)
Thay \({I_1}\) vào (1) ta được : \(I = {x^3}{e^x} – 3{e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) = {e^x}\left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} \right) + C\)
d) Đặt \(u = \sqrt {3x – 9} \Rightarrow {u^2} = 3x – 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}\)
Do đó \(\int {{e^{\sqrt {3x – 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left( {u – 1} \right) + C} } \) (bài 6c)
\( = {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x – 9} }}\left( {\sqrt {3x – 9} – 1} \right) + C\)
===============
Bài 9 . Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x;\) \(b)\,f\left( x \right) = \sqrt x \ln x;\)
c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x;\) d) \(f\left( x \right) = x\cos \left( {{x^2}} \right);\)
Giải
a) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x} – \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Tính \(\int {x\sin 2xdx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {x\sin 2xdx = – {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx = – {1 \over 2}x\cos 2x – {1 \over 4}\sin 2x + C} } \)
Thay vào (1) ta được \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 4}\sin 2x + C} \)
b) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {\sqrt x } \ln xdx = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x – {2 \over 3}\int {{x^{{1 \over 2}}}dx} \)
\( = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x – {2 \over 3}.{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C = {2 \over 3}\sqrt {{x^3}} \ln x – {4 \over 9}\sqrt {{x^3}} + C\)
c) Đặt \(u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\)
\( \Rightarrow \int {{{\sin }^4}x\cos xdx = } \int {{u^4}du = {{{u^5}} \over 5} + C = {1 \over 5}{{\sin }^5}x} + C.\)
d) Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\)
\( \Rightarrow \int {x\cos \left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}\int {\cos udu = {1 \over 2}\sin u + C = {1 \over 2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}^2} + C.} } \)
Trả lời