Giải bài tập SGK Bài 1 Số phức – Giải tích 12 cơ bản

Giải bài tập SGK Bài 1 Số phức – Chương 4

---

 

BÀI 1 TRANG 133 SGK GIẢI TÍCH 12

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:

a) \(z = 1 – πi\);                              b) \(z = \sqrt 2 – i\);

c) \(z = 2\sqrt 2\);                                 d) \(z = -7i\).

Hướng dẫn giải:

a) Phần thực: \(1\), phần ảo \(π\);

b) Phần thực: \(\sqrt2\), phần ảo \(-1\);

c) Phần thực \(2\sqrt2\), phần ảo \(0\);

d) Phần thực \(0\), phần ảo \(-7\).

===========

Bài 2. Tìm các số thực \(x\) và \(y\), biết:

a) \((3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i\);

b) \((1 – 2x) – i\sqrt 3 = \sqrt 5 + (1 – 3y)i\);

c) \((2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i\).

Hướng dẫn giải:

Từ định nghĩa bằng nhau của hai số phức, ta có:

a) \( \left\{\begin{matrix} 3x-2=x+1\\ 2y+1=-(y-5) \end{matrix}\right.\) ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{4}{3} \end{matrix}\right.\);

b) \( \left\{\begin{matrix} 1-2x=\sqrt{5}\\ 1-3y=-\sqrt{3} \end{matrix}\right.\) ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{3} \end{matrix}\right.\);

c) \( \left\{\begin{matrix} 2x+y=x-2y+3\\ 2y-x=y+2x+1 \end{matrix}\right.\) ⇔ \( \left\{\begin{matrix} x+3y =3\\ -3x+y=1 \end{matrix}\right.\)

⇔ \( \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=1 \end{matrix}\right.\).

===========

Bài tập 3 trang 134 SGK Giải tích 12

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng -2.

b) Phần ảo của z bằng 3.

c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2).

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

Câu a:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng -2 là đường thẳng song song với trục Oy, cắt trục Ox tại điểm có tọa độ (-2;0) như hình vẽ:

Câu b:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần ảo bằng 3 là một đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tọa độ (0;3) như hình vẽ:

Câu c:

Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z có phần thực thuộc khoảng (-1;2) là một phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x=-1 và x=2 như hình vẽ, không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng x=-1 và x=2:

Câu d:

Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z có phần ảo thuộc đoạn [1;3] là phần mặt phẳng phức giới hạn bởi các đường y=1 và y=3, như hình vẽ, lấy cả những điểm trên đường thẳng y=1 và y=3:

Câu e:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực và phần ảo đều thuoovj đoạn [-2;2] là phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường x=-2; x=2; y-2; y=2 như hình vẽ, lấy tất cả nhứng điểm trên biên:

==============

Bài 4. Tính \(|z|\) với:

a) \(z = -2 + i\sqrt3\);                         b) \(z = \sqrt2 – 3i\);

c) \(z = -5\);                                  d) \(z = i\sqrt3\).

Phương pháp:

Số phức \(z = a + bi\)  (\(a,b\in\mathbb{R}\)).  Môđun của số phức \(z\), kí hiệu \(\left | z \right |\) được xác định bởi công thức \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Hướng dẫn giải:

a) \(|z| =  \sqrt{(-2)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}\);

b) \(|z| =\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt11\);

c) \(|z| =  \sqrt{(-5)^{2}} = 5 \);

d) \(|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2}}= \sqrt3\).

==========

Bài tập 5 trang 134 SGK Giải tích 12

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) |z| = 1.

b) |z| ≤ 1.

c) 1 < |z| ≤ 2.

d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Phương pháp:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) khi đó trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.

Dựa vào dữ kiện đề bài ta xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 4 như sau:

Câu a:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\)

Ta có |z| = 1 ⇔ $\sqrt{x^2+y^2}$ = 1 ⇔ x² + y² = 1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tam O, bán kính bằng 1.

Câu b:

Ta có |z| ≤ 1 ⇔ $\sqrt{x^2+y^2}$ ≤ 1 ⇔ x² + y² ≤ 1.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm O, bán kính bằng 1 (kể cả các điểm trên đường tròn x²+y²=1).

Câu c:

Ta có 1<|z| ≤ 2 ⇔ 1 < $\sqrt{x^2+y^2}$ ≤ 2 ⇔ 1 < x² + y² ≤ 4.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm O, bán kính bằng 2 (kể cả các điểm trên đường tròn này).

Câu d:

Ta có |z| = 1 ⇔ $\sqrt{x^2+y^2}$ = 1 ⇔ x² + y² = 1 và phần ảo của z bằng 1 tức y = 1.

Suy ra x = 0 và y = 1.

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm A(0;1).

 

================

Bài tập 6 trang 134 SGK Giải tích 12

Tìm $\bar z$, biết:

a) \(\small z = 1 – i\sqrt{2}\).

b) \(\small z = -\sqrt{2} + i\sqrt{3}\).

c) \(\small z = 5\).

d) \(\small z = 7i\).

==============

Hướng dẫn giải chi tiết bài 6

Phương pháp:

Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 6 như sau:

a) \(\bar z = 1 + i\sqrt{2}\).

b) \(\bar z = -\sqrt{2} – i\sqrt{3}\).

c) $\bar z = 5.$

d)  $\bar z= -7i.$
===============

Giải bằng ảnh:

—