Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)

• Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.

• Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).

• Khi đó : $\mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$ ; $\mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$

​Áp dụng ta giải câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x² – 6x – 9 = 3(x² – 2x – 3)

Trên đoạn [-4;4]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \in \left[ { – 4;4} \right]\\ x = – 1 \in \left[ { – 4;4} \right] \end{array} \right.\)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { – 4;4} \right]} = y( – 1) = 40\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { – 4;4} \right]} = y( – 4) = – 41.\)

Trên đoạn [0;5]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 \in \left[ {0;5} \right]}\\ {x = – 1 \notin \left[ {0;5} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có:  y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(5) = 40.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(3) = 8.\)

Câu b:

Xét hàm số \(y = x^4 – 3x^2 + 2\)

Tập xác định D=R

Hàm số liên tục trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\) nên có GTLN và GTNN trên các đoạn này:

Đạo hàm: y’=4x³-6x.

Trên đoạn [0;3]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]}\\ {x = 0 \in \left[ {0;3} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \in \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có: y(0)=2; \(y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4}\); y(3)=56.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số:\(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( 3 \right) = 56.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4}.\)

Trên đoạn [2;5]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = 0 \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 6 \right) = 552.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 2 \right) = 6.\)

Câu c:

Xét hàm số \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\)

Hàm số có tập xác định D = R \{1} và liên tục trên các đoạn [2;4] và [-3;-2] thuộc D, do đó hàm số có GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có : 

Trên đoạn [2;4]: \(y(2)=0;y(4)=\frac{2}{3}.\)

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 2 \right) = 0.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 4 \right) = \frac{2}{3}.\)

Trên đoạn [-3;-2]: \(y(-3)=\frac{5}{4};y(-2)=\frac{4}{3}.\)

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { – 3;-2} \right]} = y\left( { – 3} \right) = \frac{5}{4}.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { – 3; – 2} \right]} = y\left( { – 2} \right) = \frac{4}{3}.\)

Câu d:

Xét hàm số \(y =\sqrt{(5-4x)}\)

Hàm số có tập xác định \({\rm{D = }}\left( { – \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên xác định và liên tục trên đoạn [-1;1], do đó có GTLN, GTNN trên đoạn [-1;1].

Ta có:\(y’ = – \frac{2}{{\sqrt {5 – 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right].\)

Trên đoạn [-1;1]: y(-1)=3; y(1)=1.

 

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { – 1;1} \right]} y = y( – 1) = 3.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { – 1;1} \right]} y = y(1) = 1.\)

Với bài 2 ta có hai cách giải thường được sử dụng:

+ Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10.

+ Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số như nội dung bài vừa học.

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài 2 bằng 2 cách:

• Cách 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (0 < x, y < 16).

Khi đó x + y = 8.

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(8=x+y\geq 2 \sqrt {x.y}\Rightarrow xy\leq 16.\)

\(xy=16\Leftrightarrow x=y=4.\)

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng 16 cm² khi x = y = 4(cm), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

• Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (8>x>0; 8>y>0).

Khi đó chu vi: p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.

Ta có diện tích của hình chữ nhật là S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x²+8x.

Xét hàm số: S(x) = -x²+8x trên khoảng (0,8) ta có:

S’=-2x+8; S’=0 ⇔ x=4

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=4 khi đó maxS = 16.

Với x=4 suy ra y=4.

Vậy hình vuông có cạnh bằng 4 là hình có diện tích lớn nhất.

Với bài 3 ta có hai cách giải thường được sử dụng như sau:

+ Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10.

+ Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số như nội dung bài vừa học.

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài 3 bằng 2 cách nêu trên:

• Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x, y > 0).

Khi đó xy = 48.
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : 

.
Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng  (m) khi  (m), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

• Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi đó chu vi của hình chữ nhật là \(p=2(x+y) \Leftrightarrow p=2x+\frac{96}{x}.\)

Xét hàm số \(p(x)=2x+\frac{96}{x}.\) trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

\(p'(x) = 2 – \frac{{96}}{{{x^2}}};\,\,p'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 3 {\mkern 1mu}\) (do x>0).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: \(\min p = 16\sqrt 3\) khi \(x = 4\sqrt 3 \,\).

Với \(x = 4\sqrt 3 \,\Rightarrow y=\frac{48}{x}=4\sqrt 3\).

Vậy hình vuông có cạnh \(4\sqrt 3 \,\) là hình có chu vi nhỏ nhất theo yêu cầu bài toán.

Bài 4 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số mà không có miền cho trước thì ta hiểu yêu cầu bài tập là tập giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định.

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4:

Câu a: 

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Đạo hàm: .

\(y’=0\Leftrightarrow x=0.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max y = y(0) = 4.\)

Câu b: 

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Đạo hàm y’ = 12x² – 12x³ = 12x² (1 – x).

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max y = y(1) = 1.\)