• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Đăng ngày: 12/06/2017 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Giải bài tập Toán 12 Tag với:GBT giai tich 12 chuong 1, GTLN GTNN, Max - Min

Mục lục:

  1. Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12
    1. Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
  2. Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12
    1. Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
  3. Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12
    1. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3
  4. Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12
    1. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
  5. Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12
    1. Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

==================

Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).

b) \(y = x^4 – 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).

c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).

d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)

  • Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.

  • Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).

  • Khi đó : $\mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$ ; $\mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} {f(a);f(b);f(x_i)}$

​Áp dụng ta giải câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

Trên đoạn [-4;4]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \in \left[ { – 4;4} \right]\\ x = – 1 \in \left[ { – 4;4} \right] \end{array} \right.\)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { – 4;4} \right]} = y( – 1) = 40\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { – 4;4} \right]} = y( – 4) = – 41.\)

Trên đoạn [0;5]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 \in \left[ {0;5} \right]}\\ {x = – 1 \notin \left[ {0;5} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có:  y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(5) = 40.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(3) = 8.\)

Câu b:

Xét hàm số \(y = x^4 – 3x^2 + 2\)

Tập xác định D=R

Hàm số liên tục trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\) nên có GTLN và GTNN trên các đoạn này:

Đạo hàm: y’=4x3-6x.

Trên đoạn [0;3]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]}\\ {x = 0 \in \left[ {0;3} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \in \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có: y(0)=2; \(y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4}\); y(3)=56.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số:\(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( 3 \right) = 56.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4}.\)

Trên đoạn [2;5]:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = 0 \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 6 \right) = 552.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 2 \right) = 6.\)

Câu c:

Xét hàm số \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\)

Hàm số có tập xác định D = R \{1} và liên tục trên các đoạn [2;4] và [-3;-2] thuộc D, do đó hàm số có GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có : Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Trên đoạn [2;4]: \(y(2)=0;y(4)=\frac{2}{3}.\)

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 2 \right) = 0.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 4 \right) = \frac{2}{3}.\)

Trên đoạn [-3;-2]: \(y(-3)=\frac{5}{4};y(-2)=\frac{4}{3}.\)

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { – 3;-2} \right]} = y\left( { – 3} \right) = \frac{5}{4}.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { – 3; – 2} \right]} = y\left( { – 2} \right) = \frac{4}{3}.\)

Câu d:

Xét hàm số \(y =\sqrt{(5-4x)}\)

Hàm số có tập xác định \({\rm{D = }}\left( { – \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên xác định và liên tục trên đoạn [-1;1], do đó có GTLN, GTNN trên đoạn [-1;1].

Ta có:\(y’ = – \frac{2}{{\sqrt {5 – 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { – 1;1} \right].\)

Trên đoạn [-1;1]: y(-1)=3; y(1)=1.

 

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { – 1;1} \right]} y = y( – 1) = 3.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { – 1;1} \right]} y = y(1) = 1.\)

 

Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Với bài 2 ta có hai cách giải thường được sử dụng:

+ Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10.

+ Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số như nội dung bài vừa học.

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài 2 bằng 2 cách:

  • Cách 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (0 < x, y < 16).

Khi đó x + y = 8.

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(8=x+y\geq 2 \sqrt {x.y}\Rightarrow xy\leq 16.\)

\(xy=16\Leftrightarrow x=y=4.\)

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng 16 cm2 khi x = y = 4(cm), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

  • Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (8>x>0; 8>y>0).

Khi đó chu vi: p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.

Ta có diện tích của hình chữ nhật là S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x2+8x.

Xét hàm số: S(x) = -x2+8x trên khoảng (0,8) ta có:

S’=-2x+8; S’=0 ⇔ x=4

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=4 khi đó maxS = 16.

Với x=4 suy ra y=4.

Vậy hình vuông có cạnh bằng 4 là hình có diện tích lớn nhất.

 

Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Với bài 3 ta có hai cách giải thường được sử dụng như sau:

+ Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10.

+ Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số như nội dung bài vừa học.

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài 3 bằng 2 cách nêu trên:

  • Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x, y > 0).

Khi đó xy = 48.
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB.
Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB (m) khi Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB (m), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

  • Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi đó chu vi của hình chữ nhật là \(p=2(x+y) \Leftrightarrow p=2x+\frac{96}{x}.\)

Xét hàm số \(p(x)=2x+\frac{96}{x}.\) trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

\(p'(x) = 2 – \frac{{96}}{{{x^2}}};\,\,p'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 3 {\mkern 1mu}\) (do x>0).

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Từ bảng biến thiên ta có: \(\min p = 16\sqrt 3\) khi \(x = 4\sqrt 3 \,\).

Với \(x = 4\sqrt 3 \,\Rightarrow y=\frac{48}{x}=4\sqrt 3\).

Vậy hình vuông có cạnh \(4\sqrt 3 \,\) là hình có chu vi nhỏ nhất theo yêu cầu bài toán.

 

Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).

b) \(y=4x^3-3x^4\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Bài 4 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số mà không có miền cho trước thì ta hiểu yêu cầu bài tập là tập giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định.

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4:

Câu a: 

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Đạo hàm: Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB.

\(y’=0\Leftrightarrow x=0.\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max y = y(0) = 4.\)

Câu b: 

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Đạo hàm y’ = 12x2 – 12x3 = 12x2 (1 – x).

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\max y = y(1) = 1.\)

 

Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \left | x \right |\);

b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Với bài 5 ta áp dụng cách giải sau:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Có nhiều trường hợp ta có thể nhìn vào hàm số và đánh giá ngay được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cụ thể ở đây là câu a bài 5.

Áp dụng ta giải câu a, b bài 5 như sau:

Câu a:

Cách 1: Ứng dụng đạo hàm

y = Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB = Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB .

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{ – x}}{x} = – 1.\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\min y = y(0) = 0.\)

Cách 2: Dùng tính chất của hàm số

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có: \(\left| x \right| \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} ,\) dấu bằng xảy ra khi x=0. Vậy \(\min y = y(0) = 0.\)

Câu b:

Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – giải tích 12 CB

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min }\limits_{x\left( {0; + \infty } \right)} = y(2) = 4.\)

Với câu b bài 5 ta cũng có thể dùng bất đẳng thức côsi để giải.

================

 

Thuộc chủ đề:Giải bài tập Toán 12 Tag với:GBT giai tich 12 chuong 1, GTLN GTNN, Max - Min

Bài liên quan:

  1. CASIO – TÍNH NHANH Max – Min Hàm số
  2. CÁC BÀI TOÁN MIN – MAX VẬN DỤNG CAO
  3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT bằng CASIO
  4. [VDC – LOG MAX MIN 2020] Cho hàm số $ f\left(x\right)=\log_2^3x-\log_2{x^3}+m$ ($ m$là tham số thực). Gọi $ S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $ m$ sao cho $\max\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|+\min\limits_{\left[1;4\right]}\left|f\left(x\right)\right|=6$. Tổng bình phương các phần tử của $ S$ bằng
  5. TỔNG ÔN MAX – MIN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – file doc
  6. Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  7. Giải bài tập ôn tập chương I – Giải Tích 12 CB
  8. Giải bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – giải tích 12 CB
  9. Giải bài tập Cực trị của hàm số – giải tích 12 CB
  10. Giải bài tập Đường tiệm cận – giải tích 12 CB
  11. Giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số – giải tích 12 CB
  12. Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương II: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương III: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
  • Giải Bài Tập Giải Tích 12 CB – Chương IV: SỐ PHỨC
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương I KHỐI ĐA DIỆN 
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương II MẶT NÓN , MẶT TRỤ, MẶT CẦU  
  • Giải Bài Tập Hình Học 12 CB – Chương III: PP Tọa độ trong không gian
  • Giải Bài Tập Toán 12 nâng cao




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.