Giải bài tập Cực trị của hàm số – giải tích 12 CB

Phương pháp giải:

Để giải bài 1 các em cần ôn lại các bước tìm cực trị bằng quy tắc 1:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Lời giải:

Áp dụng các bước trên ta tiến hành giải các câu a, b, c, d, e của bài 1 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Ta có đạo hàm: \(y’ = 6{x^2} + 6x – 36\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = – 3 \end{array} \right.\)

Với x=2 ta có y=-54.

Với x=-3 ta có y=71.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-3, giá trị cực đại y_cđ = y(-3) = 71.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , giá trị cực tiểu y_ct=y(2) =- 54.

Câu b:

Xét hàm số \(y = x^4+ 2x^2 – 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = 4{x^3} + 4x = 4x({x^2} + 1)\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Với x=0 ta có y=-3.

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu y_ct=y(0)=- 3.

Hàm số không có cực đại.

Câu c:

Xét hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(y’=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với x=1 ta có y=2.

Với x=-1 ta có y=-2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại y_cđ = y(-1) = -2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_ct = y(1) = 2.

Câu d:

Xét hàm số \(y = x^3(1 – x)^2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = 3{x^2}{(1 – x)^2} – 2{x^3}(1 – x) = {x^2}(1 – x)(3 – 5x)\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{3}{5}\\ x = 0 \end{array} \right.\)

Với \(x=1\) ta có \(y=0.\)

Với \(x=\frac{3}{5}\) ta có \(y=\frac{108}{3125}.\)

Với x=0 ta có \(y=0.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{3}{5},\) giá trị cực đại \(y_{cd} =y\left ( \frac{3}{5} \right )\frac{108}{3125}.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1,\) giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(1)=0.\)

Câu e:

Xét hàm số \(y = \sqrt {x^2-x+1}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\({y’ = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x + 1} }}}\)

\({y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}}\)

Với \(x=\frac{1}{2}\) ta có \(y=\frac{\sqrt 3}{2}\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\sqrt 3}{2}.\)

Nhận xét & Phương pháp giải:

Với những hàm số dễ dàng xét dấu của đạo hàm để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I. Tuy nhiên trong quá trình tìm cực trị của hàm số các em sẽ gặp những hàm số mà việc xác định dấu của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị.

Trước khi giải bài 2, các em cần nắm được các bước đề tìm cực trị bằng quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).

Bước 3: Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .

♦ Chú ý: nếu \(f”(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .

Lời giải:

Áp dụng các bước trên, ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

\(y” = 12{x^2} – 4\)

Ta có:

Với x=0: \(y”(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại y_cđ = y(0) = 1.

Với x=-1 và x=1: \(y”(-1)=y”(1)=8>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(-1)=y(1)=0.\)

Câu b:

Xét hàm số \(y = sin2x – x\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

\(y’ = 2cos2x – 1\).
\(y’=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)

Đạo hàm cấp hai: \(y” = -4sin2x .\)

Ta có:

Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\): 

Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực đại: \({y_{cd}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) – \frac{\pi }{6} – k\pi = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6} – k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Với \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\):

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực tiểu:\({y_{ct}} = \sin \left( { – \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} – k\pi = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} – k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)

Câu c:

Xét hàm số \(y = sinx + cosx\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = \cos x – \sin x\).

\(\begin{array}{l} y’ = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)

Đạo hàm cấp 2: \(y”=-sinx-cosx.\)

Với \(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:

\(y”\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = – \sin \frac{\pi }{4} – \cos \frac{\pi }{4} = – \sqrt 2 < 0.\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:

\(y”\left( {\frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{4} = \sqrt 2 > 0.\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Câu d:

Xét hàm số \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = 5{x^4} – 3{x^2} – 2\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} – 3{x^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) (Đặt \(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).

Đạo hàm cấp hai:\(y”=20x^3-6x.\)

Với x=1 ta có: y”(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_ct = y(1) = -1.

Với x=-1 ta có: y”(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y_cđ = y(-1) = 3.

Phân tích đề bài:

Trước khi giải bài 3, chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa về cực trị:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

• Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)
• Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)<f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\).

Từ định nghĩa ta thấy được rằng nếu hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) thì vẫn có thể đạt cực trị tại điểm đó. Bài 3 là một ví dụ chứng minh cho nhận xét trên đây.

Trước tiên, ta cần ôn lại cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm đã học trong chương trình lớp 11, phương pháp cụ thể được trình bày trong lời giải chi tiết sau đây, còn việc chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ta chỉ cần áp dụng kiến thức từ nội dung bài vừa học là có thể làm được.

Lời giải:

Xét hàm số $y=\sqrt{|x|}$

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0, ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\) không hữu hạn.

Để điều này xảy ra ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\) không hữu hạn.

Thật vây:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty .\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Chứng minh hàm số có cực trị tại x=0.

Xét hàm số $y=\sqrt{|x|}$

\(y’ = \frac{{\left| x \right|’}}{{2\sqrt {\left| x \right|} }} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\sqrt x }},\,x > 0\\ – \frac{1}{{2\sqrt { – x} }},\,x < 0 \end{array} \right.\)

Dễ thấy y’ không xác định tại x=0.

Xét dấu y’:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Phân tích đề & Phương pháp giải:

Hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,(a \ne 0)\) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)

Khi đó y’ luôn đổi dấu khi đi qua 2 điểm \(x_1;x_2.\)

Ta có: \(y’ = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Xét phương trình: \(3a{x^2} + 2bx + c=0\)

Biệt thức: \(\Delta {‘_{y’}} = {b^2} – 3ac\)

Như vậy với bài 4, ta chỉ cần chứng minh \(\Delta {‘_{y’}} = {b^2} – 3ac>0\) với mọi m.

Lời giải:

Áp dụng, ta có lời giài chi tiết bài 4 như sau:

Xét hàm số \(y = x^3 – mx^2 – 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

\(y’ = 3{x^2} – 2mx – 2\), \(\Delta {‘_{y’}} = {m^2} + 6 > 0,\forall m\) nên phương trình y’=0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Phân tích đề & Phương pháp giải:

Đây là bài toán tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.

Với dữ kiện của đề bài, ta nhận định:

– Nếu a=0, hàm số đã cho sẽ trở thành hàm số bậc nhất và không có cực trị.

– Nếu a khác 0, hàm số đã cho là một hàm số bậc ba, ta áp dụng quy tắc 1 để tìm tham số a và b theo yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Khai thác dữ kiện đề bài cho ta có lời giải chi tiết bài 5 như sau:

– Với a=0 hàm số trở thành y = -9x+b không có cực trị.

– Với \(a \ne 0\) ta có: \(y’ = 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – \frac{9}{{5a}}\\ x = \frac{1}{a} \end{array} \right.\)

+ Với a<0 ta có bảng biến thiên:

Theo giả thiết  là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\frac{9}{5}.\)

Giá trị cực tiểu là số dương nên:

\(y_{CT}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\)

+ Với a<0 ta có bảng biến thiên:

Vì   là điểm cực đại nên .

Giá trị cực tiểu là số dương nên:

\({y_{CT}} = y\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} + \frac{2}{a} – \frac{9}{a} + b > 0\)\(\small \Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)

Vậy các giá trị a, b cần tìm là:  hoặc .

Phân tích đề & Phương pháp giải:

Với dạng bài tập này ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc 2 để giải, sau đó thử lại các tham số tìm được xem yêu cầu bài toán có thỏa mãn hay không.

Tuy nhiên khi rơi vào các trường hợp sau;

Thứ nhất: \(y”(x_0)=0\) với mọi m, không được dùng quy tắc 2 phải chuyển qua dùng quy tắc 1.

Thứ hai: Tính đạo hàm cấp 2 phức tạp, nên ưu tiên sử dụng quy tắc 1.

Lời giải:

Lời giải chi tiết bài 6 như sau:

Xét hàm số 

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\)

Nếu hàm số đạt cực đại tại x=2 thì \(y'(2) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = – 1\\ m = – 3 \end{array} \right.\)

– Với m = -1,  ta có : 

\(y’ = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}};\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy khi m=-1 hàm số không đạt cực đại tại x = 2.

– Với m=-3, ta có: 

\(y’ = \frac{{{x^2} – 6x + 8}}{{{{(x – 3)}^2}}};\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy khi m=-3 hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Vậy m=-3 là giá trị cần tìm.