Giải bài tập Cực trị của hàm số – giải tích 12 CB

Giải bài tập Cực trị của hàm số – giải tích 12 CB

Bài tập 1 trang 18 SGK Giải tích 12

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\).

b) \(y = x^4+ 2x^2 – 3\).

c) \(y = x + \frac{1}{x}\).

d) \(y = x^3(1 – x)^2\).

e) \(y = \sqrt {x^2-x+1}\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Lời giải:

Áp dụng các bước trên ta tiến hành giải các câu a, b, c, d, e của bài 1 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Ta có đạo hàm: \(y’ = 6{x^2} + 6x – 36\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = – 3 \end{array} \right.\)

Với x=2 ta có y=-54.

Với x=-3 ta có y=71.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-3, giá trị cực đại y_cđ = y(-3) = 71.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , giá trị cực tiểu y_ct=y(2) =- 54.

Câu b:

Xét hàm số \(y = x^4+ 2x^2 – 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = 4{x^3} + 4x = 4x({x^2} + 1)\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Với x=0 ta có y=-3.

Bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu y_ct=y(0)=- 3.

Hàm số không có cực đại.

Câu c:

Xét hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(y’=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với x=1 ta có y=2.

Với x=-1 ta có y=-2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại y_cđ = y(-1) = -2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_ct = y(1) = 2.

Câu d:

Xét hàm số \(y = x^3(1 – x)^2\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = 3{x^2}{(1 – x)^2} – 2{x^3}(1 – x) = {x^2}(1 – x)(3 – 5x)\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{3}{5}\\ x = 0 \end{array} \right.\)

Với \(x=1\) ta có \(y=0.\)

Với \(x=\frac{3}{5}\) ta có \(y=\frac{108}{3125}.\)

Với x=0 ta có \(y=0.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{3}{5},\) giá trị cực đại \(y_{cd} =y\left ( \frac{3}{5} \right )\frac{108}{3125}.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1,\) giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(1)=0.\)

Câu e:

Xét hàm số \(y = \sqrt {x^2-x+1}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\({y’ = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x + 1} }}}\)

\({y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}}\)

Với \(x=\frac{1}{2}\) ta có \(y=\frac{\sqrt 3}{2}\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\sqrt 3}{2}.\)

Bài tập 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = x^4 – 2x^2 + 1\).

b) \(y=\sin {2x} – x\).

c) \(y = sinx + cosx\).

d) \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Lời giải:

Áp dụng các bước trên, ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm:

\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\)

\(y” = 12{x^2} – 4\)

Ta có:

Với x=0: \(y”(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại y_cđ = y(0) = 1.

Với x=-1 và x=1: \(y”(-1)=y”(1)=8>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x= \pm1\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y(-1)=y(1)=0.\)

Câu b:

Xét hàm số \(y = sin2x – x\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

\(y’ = 2cos2x – 1\).
\(y’=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi , k \in \mathbb{Z}.\)

Đạo hàm cấp hai: \(y” = -4sin2x .\)

Ta có:

Với \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\): 

Nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực đại: \({y_{cd}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) – \frac{\pi }{6} – k\pi = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6} – k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Với \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\):

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\).

Giá trị cực tiểu:\({y_{ct}} = \sin \left( { – \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) + \frac{\pi }{6} – k\pi = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} – k\pi ,k \in\mathbb{Z}.\)

Câu c:

Xét hàm số \(y = sinx + cosx\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = \cos x – \sin x\).

\(\begin{array}{l} y’ = 0 \Leftrightarrow \sin x = \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}. \end{array}\)

Đạo hàm cấp 2: \(y”=-sinx-cosx.\)

Với \(k=2m \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:

\(y”\left( {\frac{\pi }{4} + 2m\pi } \right) = – \sin \frac{\pi }{4} – \cos \frac{\pi }{4} = – \sqrt 2 < 0.\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + 2m\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:

\(y”\left( {\frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{4} = \sqrt 2 > 0.\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + \left( {2m + 1} \right)\pi ,m \in \mathbb{Z}.\)

Câu d:

Xét hàm số \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y’ = 5{x^4} – 3{x^2} – 2\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} – 3{x^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) (Đặt \(t=x^2>0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).

Đạo hàm cấp hai:\(y”=20x^3-6x.\)

Với x=1 ta có: y”(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_ct = y(1) = -1.

Với x=-1 ta có: y”(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y_cđ = y(-1) = 3.

————–

Bài tập 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Lời giải:

Xét hàm số $y=\sqrt{|x|}$

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0, ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\) không hữu hạn.

Để điều này xảy ra ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}}\) không hữu hạn.

Thật vây:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty .\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Chứng minh hàm số có cực trị tại x=0.

Xét hàm số $y=\sqrt{|x|}$

\(y’ = \frac{{\left| x \right|’}}{{2\sqrt {\left| x \right|} }} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\sqrt x }},\,x > 0\\ – \frac{1}{{2\sqrt { – x} }},\,x < 0 \end{array} \right.\)

Dễ thấy y’ không xác định tại x=0.

Xét dấu y’:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Bài tập 4 trang 18 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 – mx^2 – 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Lời giải:

Áp dụng, ta có lời giài chi tiết bài 4 như sau:

Xét hàm số \(y = x^3 – mx^2 – 2x + 1\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}.\)

\(y’ = 3{x^2} – 2mx – 2\), \(\Delta {‘_{y’}} = {m^2} + 6 > 0,\forall m\) nên phương trình y’=0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài tập 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y=\frac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\) đều là những số dương và \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Lời giải:

Khai thác dữ kiện đề bài cho ta có lời giải chi tiết bài 5 như sau:

– Với a=0 hàm số trở thành y = -9x+b không có cực trị.

– Với \(a \ne 0\) ta có: \(y’ = 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – \frac{9}{{5a}}\\ x = \frac{1}{a} \end{array} \right.\)

+ Với a<0 ta có bảng biến thiên:

Theo giả thiết \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại nên \(\frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\frac{9}{5}.\)

Giá trị cực tiểu là số dương nên:

\(y_{CT}=y\left ( -\frac{9}{5a} \right )=y(1)>0\Leftrightarrow \frac{5}{3}\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )^{2}+2\cdot \left ( -\frac{9}{5} \right )-9+b>0\)
\(\Leftrightarrow b>\frac{36}{5}.\)

+ Với a<0 ta có bảng biến thiên:

Vì \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\)  là điểm cực đại nên .

Giá trị cực tiểu là số dương nên:

\({y_{CT}} = y\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} + \frac{2}{a} – \frac{9}{a} + b > 0\)\(\small \Leftrightarrow b>\frac{400}{243}.\)

Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).

===============

Bài tập 6 trang 18 SGK Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).

Hướng dẫn giải chi tiết

Lời giải:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\)

Ta có: \(y = x + \dfrac{1}{{x + m}}\) \( \Rightarrow y’ = 1 – \dfrac{1}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow y” = \dfrac{{2\left( {x + m} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + m} \right)}^3}}}\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y’\left( 2 \right) = 0\\y”\left( 2 \right) < 0\end{array} \right.\)

+) \(y”\left( 2 \right) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{{\left( {2 + m} \right)}^3}}} < 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow 2 + m < 0\) \( \Leftrightarrow m < – 2\)

+) \(y’\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – \dfrac{1}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {2 + m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\left( L \right)\\m = – 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = – 3\).

— hết —