Giải bài tập bài 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học – Giải tích 12 cơ bản

Câu a:

Xét phương trình:

\(x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2\)

⇒ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=x+2\) là:

\(S=\int_{1}^{2} \left | x^2-(x+2) \right |dx= \int_{1}^{2}\left | x^2-x-2 \right |dx\)

Vì \(x^2-x-2\leq 0\) khi \(-1\leq x\leq 2\)

nên \(S=-\int_{1}^{2}(x^2-x-2)dx= \left ( -\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2} +2x \right ) \Bigg|^2_1\)

\(=\left ( -\frac{8}{3}+2+4 \right )-\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \right )= \frac{9}{2}\)

Vậy \(S=\frac{9}{2}\) (đvdt)

Câu b:

Xét phương trình: \(\left | lnx \right | =1\Leftrightarrow x=e;x=\frac{1}{e}\)

Do đó diện tích cần tìm là: \(S=\int_{1}^{e} \left |\left | lnx \right |-1 \right |dx\)

Ta có: \(\left | lnx \right | = \left\{\begin{matrix} ln x \ neu \ x\geq 1\\ -lnx \ neu \ 0< x\leq 1 \end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(S=\int^{e}_{\frac{1}{e}}\left |\left | lnx \right |-1 \right |dx= \int^{e}_{\frac{1}{e}} \left | lnx-1 \right |dx+\int^{e}_{\frac{1}{e}} \left | -lnx-1 \right |dx\)

\(=\int^{e}_{\frac{1}{e}}(1-lnx)dx+\int^{e}_{\frac{1}{e}}(lnx+1)dx\)

(Vì \(lnx-1<0, \forall x\in \left [ \frac{1}{e} ;1\right ]\) và \(-lnx-1<0, \forall x\in \left [ 1;e \right ]\))

\(\Rightarrow S=\int^{1}_{\frac{1}{e}}dx-\int^{1}_{\frac{1}{e}}lnx dx+ \int^{e}_{\frac{1}{e}}lnx dx +\int^{e}_{\frac{1}{e}}dx\)

\(=x\bigg|^{1}_{\frac{1}{e}}+\bigg|^{e}_{\frac{1}{e}} – \int_{\frac{1}{e}}^{e}ln xdx+\int_{1}^{e} ln xdx\)

\(=1-\frac{1}{e}+e-1-\int_{\frac{1}{e}}^{e} lnx dx+\int_{1}^{e}ln x dx\)

\(=e-\frac{1}{e}-x lnx \Bigg|^1_{\frac{1}{e}}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}dx+xln \Bigg|^e_1-\int_{1}^{e}dx\)

\(=e-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}+e-e+1=e-\frac{3}{e}+2\) (đvdt)

Câu c:

Xét phương trình: \((x-6)^2=6x-x^2\Leftrightarrow 2x^2-18x+36=0\)

\(\Leftrightarrow x=3;x=6\)

Do đó diện tích cần tìm là:

\(S=\int_{3}^{6} \left | (x-6)^2-(6x-x^2) \right |dx= \int_{3}^{6} \left | 2x^2-18x+36 \right |dx\)

\(=-2\int_{3}^{6}(x^2-9x+18)dx\)

(Vì: \(2x^2-18x+36 \leq 0\) khi \(3\leq x\leq 6\))

\(=-2\left ( \frac{x^3}{3}-\frac{9}{2}x^2+18x \right ) \bigg|^6_3=-2\left ( 8-\frac{45}{2} \right )=9\) (đvdt).

Từ hình vẽ ta có:

\(S_1=2 \int_{0}^{2} \left [ \sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2} \right ] dx\)

\(=2 \int_{0}^{2} \sqrt{8-x^2}- \int_{0}^{2} x^2 dx\)

\(=2 \int_{0}^{2} \sqrt{8-x^2}dx-\frac{x^3}{3}\Bigg |^2_0\)

\(=2 \int_{0}^{2} \sqrt{8-x^2}dx-\frac{8}{3}\)

Đặt \(x=2\sqrt{2}sint\Rightarrow dx=2\sqrt{2}costdt\)

Khi x = 0 thì  t = 0; khi x = 2 thì \(t=\frac{\pi }{4}\)

\(\Rightarrow 2\int_{0}^{2}\sqrt{8-x^2}dx=4\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{8-8sin^2t}.cost dt\)

\(=16 \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos^2t dt=8 \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(1+cos2t)dt=2\pi+4\)

\(\Rightarrow S_1=2\pi+4-\frac{8}{3}=\frac{6\pi+4}{3}\)

Gọi S là diện tích hình tròn tâm O bán kính \(R=2\sqrt{2}\) ta có \(S=8\pi .\)

Từ đó \(\Rightarrow S_2=S-S_1=8\pi-\frac{6\pi+4}{3}= \frac{18 \pi-4}{3}\)

Vậy \(\frac{S_2}{S_1}=\frac{18\pi -4}{6\pi+4}=\frac{9\pi-2}{3\pi+2}\)

Câu a:

Xét phương trình: \(1-x^2=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)

Áp dụng công thức (5) ta có thể tích cần tìm là:

\(V= \pi \int_{-1}^{1}(1-x^2)^2dx= \pi \int_{-1}^{1} (1-2x^2+x^4)dx\)

\(=\left ( x-\frac{2}{3}x^3+\frac{x^5}{5} \right ) \Bigg|^1_{-1}= \pi\left [ \left ( 1-\frac{2}{3} +\frac{1}{5}\right ) – \left ( -1+\frac{2}{3}-\frac{1}{5} \right )\right ]\)

\(=\pi \left ( 2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5} \right )=\frac{16 \pi}{15}\)

Câu b:

Áp dụng công thức (5) ta có:

\(V=\pi \int_{0}^{\pi }cos^2x dx=\pi \int_{0}^{\pi }\frac{1+cos2x}{2}dx\)

\(=\frac{\pi }{2} \int_{0}^{\pi }dx+\frac{\pi }{4} \int_{0}^{\pi }cos2x d2x\)

\(=\frac{\pi }{2}x \Bigg|^{\pi}_0+ \frac{\pi }{4}sin 2x \Bigg|^{\pi}_0= \frac{\pi ^2}{2}\)

Câu c:

Áp dụng công thức (5) ta có:

\(V=\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^2x dx= \pi \int_{0}^{\frac{\pi }{4}} \left ( \frac{1}{cos^2x}-1 \right )dx\)

\(=\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{dx}{cos^2x}-\pi \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}dx\)

\(=\pi tan x \Bigg |_{0}^{\frac{\pi }{4}}- \pi x\Bigg |_{0}^{\frac{\pi }{4}}= \pi -\frac{\pi ^2}{4}=\pi \left ( 1-\frac{\pi }{4} \right )\)