Giải bài tập Bài 2 Mặt cầu – chương 2 hình học 12 cơ bản

Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB.

Xét tam giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyến <=> $OM=\frac{AB}{2}=R$

=> $M \in S(O;R)$

Mặt khác: lấy $M \in S(O; \frac{AB}{2})$ có: $OM=\frac{AB}{2}$

=> Tam giác AMB vuông tại M.

Kết luận: Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu tâm O,đường kính AB.

Theo bài ra: ABCD là hình vuông có cạnh là a.

=> $AC=BD=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}=OS$

=> $OA=OB=OC=OD=OS=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy mặt cầu S có tâm là O, bán kính $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Giả sử đường tròn cố định (C) tâm I bán kính r nằm trên mặt phẳng (P).

Xét đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

=> Đường thẳng d được gọi là trục của đường tròn.

Giả sử O là tâm của mặt cầu (S) chứa đường tròn (C) thì O cách đều mọi điểm của (C).Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ O xuống mặt phẳng (P) chính là tâm I của (C).

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Giả sử tam giác ABC cho trước nằm trong mặt phẳng (P).

=> mặt cầu (S) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC sẽ giao với mặt phẳng (P) theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC (chính là đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

=> Tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác  ABC là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Hai đường thẳng $M_{AB}$ và $M_{CD}$ giao nhau xác định một mặt phẳng (P).

=> Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Trong mặt phẳng (P) thì các tích MA.MB và MC.MD là giá trị của phương tích của điểm M đối với đường tròn (C),

=> MA.MB = MC.MD  ( đpcm)

b) Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn và phương tích của điểm M đối với đường tròn này là :

$P_{M/(O)} = MA.MB = d^{2} – R^{2}$ (vì d > R).

Vậy $MA.MB = d^{2} – R^{2}$.

Mặt cầu $S(O;R)$ tiếp xúc với mp(P) tại I và $IA \in mp(P)$

=> AI là tiếp tuyến tại I của mặt cầu.

=> AM và AI là hai tiếp tuyến của mặt cầu.

=> AM = AI.

Tương tự: BM = BI

=> $\triangle AMB=\triangle AIB$

=> $\widehat{AMB}=\widehat{AIB}$.  (đpcm)

a) Gọi O là tâm hình hộp chữ nhật ABCD

=> $OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ = \frac{AC’}{2}$

Mà $AC’=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

=> $OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$

Vậy mặt cầu đi qua tám đỉnh hình hộp chữ nhật tâm O, bán kính $R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$.

b) Giao tuyến của mặt phẳng ABCD với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là hai đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

=> Bán kính của đường tròn giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên là:

$r=\frac{AC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

Vậy bán kính cần tìm bằng $r=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng a tại H.

=>  (P) và H cố định.

Ta có: (P) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn tâm H và bán kính HA không đổi.

Vậy các mặt cầu tâm O bán kính R = OA luôn đi qua đường tròn cố định tâm H bán kính bằng HA.  (đpcm)

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC

=> HB = HC

Kẻ $Ht\perp mp(SBC)$ => Ht // SA.

Mặt khác, ta có: $OS=OA=OB=OC=$

=> O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

=> Bán kính mặt cầu đó là: $R=OS=\sqrt{OH^{2}+SH^{2}}$

Mà $OH=IS=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$

=> $SH=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{SB^{2}+SC^{2}}}{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}$

=> $R=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

Vậy bán kính là $R=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

Diện tích mặt cầu là:

$S=4\prod R^{2}=\prod (a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\prod R^{3}=\frac{1}{6}\prod\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}} $