Giải bài tập SGK Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm – Giải tích 11 cơ bản
=================
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
a) Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}.\)
b) Chú ý
Nếu kí hiệu \(\Delta x = x – {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})\) thì:
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.
Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:
- Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\) không tồn tại.
- Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)
c) Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) = f(x) – f({x_0})\)
- Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):
- \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C).\)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là:
\(y = f'({x_0}).(x – {x_0}) + {y_0}\)
Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)
Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x – {x_0}) + {y_0}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)
Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x – {x_0}) + {y_0}.\)
b) Ý nghĩa vật lý
- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\)
- Cướng độ tức thời của điện lượng \(Q=Q(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là: \(I(t_0)=Q'(t_0).\)
========
Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Trả lời