Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 = m.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 9
Câu a:
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}\)
1) Tập xác định: D=R.
2) Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: \(f'(x)=2x^3-6x.\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 2x^3-6x=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=-\sqrt{3}\\ x=0\\ x=\sqrt{3} \end{matrix}\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\sqrt{3};0)\) và \((\sqrt{3};+\infty )\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-\sqrt{3})\) và \((0;\sqrt{3})\).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại \(y_{CD} = y(0)=\frac{3}{2}\), đạt cực tiểu tại \(x=-\sqrt{3}\) và \(x=\sqrt{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=y(-\sqrt{3})=y(\sqrt{3})=-3\).
- Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2} \right )= +\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2} \right )= +\infty\)
Bảng biến thiên:
3) Đồ thị
Đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.
Đồ thị cắt Oy tại điểm \(\left ( 0;\frac{3}{2} \right )\)
Ta có:
x = 1 ⇒ y = -1
x = -2 ⇒ y = -5/2
x = 2 ⇒ y = -5/2
x = -1 ⇒ y = -1
Câu b:
Ta có: \(f”(x)=6x^2-6\)
\(f”(x)=0\Leftrightarrow 6x^2-6=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\\ x=1 \end{matrix}\)
- Với x = -1 ⇒ f(-1) = -1, f'(-1) = 4
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là:
y = 4(x+1) – 1 ⇔ y = 4x + 3.
- Với x = 1 ⇒ f(1) = -1, f'(1) = -4
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là:
y = -4(x-1) -1 ⇔ y= -4x + 3.
Câu c:
Ta có:
\(x^4-6x^2+3=m\Leftrightarrow \frac{1}{2}x^4-3x^2+\frac{3}{2}=\frac{m}{2}\) (*)
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng \(y=\frac{m}{2}\)
Từ đồ thì (C) ta có:
+ Nếu \(\frac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m< -6\) thì (*) vô nghiệm.
+ Nếu \(\bigg \lbrack \begin{matrix} \frac{m}{2}=-3\\ \\ \frac{m}{2}>\frac{3}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} m=-6\\ m>3 \end{matrix}\) thì (*) có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu \(\frac{m}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow m=3\) thì (*) có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu \(-3< \frac{m}{2}< \frac{3}{2}\Leftrightarrow -6<m<3\) thì (*) có bốn nghiệm phân biệt.
Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-2m+1\) với (m tham số) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\).
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
b) Với giá trị nào của m thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành?
c) Xác định m để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) có cực đại, cực tiểu.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 10
Câu a:
y= -x4 + 2mx2 -2m+1
Tập xác định: D=R
y’= -4×3 + 4mx = -4x (x2 – m)
y’ = 0 ⇔ -4x (x2 – m) = 0 \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x^2-m=0 \end{matrix}\)
+ Nếu \(m\leq 0\) thì \(x^2-m\geq 0\).
Ta có bảng xét dấu y’:
⇒ Hàm số có một điểm cực đại là x = 0.
+ Nếu m > 0 thì \(x^2-m=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-\sqrt{m}\\ x=\sqrt{m} \end{matrix}\).
Ta có bảng xét dấu y’:
⇒ Hàm số có hai điểm cực đại là \(x=-\sqrt{m}\) và \(x=\sqrt{m}\), hàm số có một điểm cực tiểu là x = 0.
Vậy với \(m\leq 0\) thì hàm số có một cực trị.
Với m > 0 thì hàm số có ba cực trị.
Câu b:
Xét hàm số y = f(x) = -x4 + 2mx2 – 2m + .
Ta có: \(f(\pm 1)=0 \ \forall m\)
⇒ đồ thị cắt Ox tại ít nhất 2 điểm.
Vậy mới mọi m thì đồ thị luôn cắt trục hoành.
Câu c:
Từ câu a ta có đồ thị có cực đại, cực tiểu khi m > 0.
Trả lời