Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12
Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m -1 có đồ thị là (Cm), m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số:
– Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).
– Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 5
Câu a:
Với m = 1. Ta có hàm số: y = 2x2 + 2x
1) Tập xác định: R
2) Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: \(y’=4x+2,y’=0\Leftrightarrow 4x+2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left ( -\frac{1}{2} ;+\infty \right )\), nghịch biến trên khoảng \(\left ( -\infty ;-\frac{1}{2} \right )\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=y\left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{2}\). Hàm số không có cực đại.
- Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }(2x^2+2x)=+\infty, \lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }(2x^2+2x)=+\infty\)
- Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
Đồ thị cắt Ox tại các điểm (0;0) và (-1;0), cắt Oy tại điểm (0;0).
\(x=-2\Rightarrow y=4\)
\(x=1\Rightarrow y=4\)
Câu b:
Xét hàm số y = 2x2 + 2mx + m-1
\(y’=4x+2m,y’=0\Leftrightarrow 4x+2m=0\Leftrightarrow x=-\frac{m}{2}\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
i) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;+\infty )\) khi \(-\frac{m}{2}\leq -1\Leftrightarrow m\geq 2\).
ii) Hàm số có cực trị trên khoảng \((-1;+\infty )\) khi \(-\frac{m}{2}> -1\Leftrightarrow m< 2\).
Câu c:
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:
\(2{x^2} + 2mx + m – 1 = 0\)
Ta có: \(\Delta ‘ = {m^2} – 2m + 2 = {(m – 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
Vậy: (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Bài tập 6 trang 45 SGK Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số:
\(f(x) = -x^3+3x^2+9x+2\)
b) Giải bất phương trình f’(x-1)>0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f’’(x0) = -6.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 6
Câu a:
Xét hàm số \(f(x)=-x^3+3x^2+9x+2\)
1) Tập xác định: D=R.
2) Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: \(f'(x)=-3x^2+6x+9.\)
\(f'(x)=0\Leftrightarrow -3x^2+6x+9=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\\ x=3 \end{matrix}\)
Xét dấu f'(x):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3), nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((3;+\infty )\).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và giá trị cực đại yCĐ = y(3) = 29, đạt cực tiểu tại x = – 1 và giá trị cực tiểu yCT = y(-1) = -3.
- Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }(-x^3+3x^2+9x+2)=+\infty,\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }(-x^3+3x^2+9x+2)=-\infty.\)
- Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
Ta có: y”=-6x+6, y”=0⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;13) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm (0;2).
Với \(x=-2\Rightarrow y=4\)
\(x=4\Rightarrow y=22\)
\(x=-3\Rightarrow y=29\)
Câu b:
Ta có: \(f'(x)=-3x^2+6x+9\)
\(\Rightarrow f ‘(x-1)=-3(x-1)^2+6(x-1)+9\)
\(=-3(x^2-2x+1)+6x-6+9\)
\(=-3x^2+6x-3+6x-6+9\)
\(=-3x^2+12x\)
Do đó: \(f'(x-1)> 0\Leftrightarrow -3x^2+12x>0\Leftrightarrow 0<x<4\).
Câu c:
Ta có: \(f”(x_0)=-6x_0+6\)
\(\Rightarrow f”(x_0)=-6\Leftrightarrow -6x_0+6=-6\Leftrightarrow x_0=2\)
\(\Rightarrow f(x_0)=24\) và \(f'(x_0)=f'(2)=9\)
Vậy tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x0 theo yêu cầu bài toán là:
\(y=9(x-2)+24\Leftrightarrow y=9x+6\).
Trả lời