Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12
Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
- Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
- Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
- Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
- Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số:
- Xét hàm số \(y=-x^3+2x^2-x-7\).
Tập xác định: D=R
\(y’=-3x^2+4x-1,y’=0\Leftrightarrow -3x^2+4x-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\\ x=\frac{1}{3} \end{matrix}\)
Xét dấu y’:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
- Xét hàm số \(y=\frac{x-5}{1-x}\).
Tập xác định: D=R \ {1}.
\(y’=\frac{1-x+x-5}{(1-x^2)^2}=\frac{-4}{(1-x)^2}<0 \ \ \ \forall x\in R \setminus \left \{ 1 \right \}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((1; +\infty )\)
Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).
Hướng dẫn giải chi tiết bài 2
Các cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:
Quy tắc 1:
- Tìm tập xác định.
- Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm tập xác định.
- Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm của phương trình \(f'(x)=0\).
- Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .
♦ Chú ý: nếu \(f”(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .
Tìm cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\):
Xét hàm số: \(y=x^4-2x^2+2\)
Tập xác định: D=R
\(y’=4x^3-4x,y’=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\\ x=0\\ x=1 \end{matrix}\)
Xét dấy y’:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = 2; đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1, giá trị cực tiểu yCT = y(\(\pm\)1) =1.
Trả lời