Đề toán 2022 Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\).Gọi \(A,B,C\)lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác \(ABC\)bằng
A. \(\frac{{5\sqrt 7 }}{8}\) B. \(\frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\) C. \(\frac{{5\sqrt 7 }}{{24}}\) D. \(\frac{{5\sqrt 7 }}{{32}}\).
Lời giải
Ta có: \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right).{z_3} = 3{z_1}{z_2}\) \( \Rightarrow \) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\left| {{z_3}} \right| = 3\left| {{z_1}{z_2}} \right|\) \( \Rightarrow \) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \) \(O{A^2} + O{B^2} + 2OA.OB\cos \widehat {AOB} = \frac{9}{4}\) \( \Rightarrow \) \(\cos \widehat {AOB} = \frac{1}{8}\)
\( \Rightarrow \) \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2} – 2OA.OB\cos \widehat {AOB}} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\).
Lại có:
⮚ \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right).{z_3} = 3{z_1}{z_2}\) \( \Rightarrow \) \({z_1}\left( {{z_3} – 3{z_2}} \right) = – {z_2}{z_3}\) \( \Rightarrow \) \(\left| {{z_3} – 3{z_2}} \right| = 2\)
\( \Rightarrow \) \(O{C^2} + 9O{B^2} – 6OC.OB\cos \widehat {BOC} = 4\) \( \Rightarrow \) \(\cos \widehat {BOC} = \frac{3}{4}\)
\( \Rightarrow \) \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2} – 2OB.OC\cos \widehat {BOC}} = \sqrt 2 \).
⮚ \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right).{z_3} = 3{z_1}{z_2}\) \( \Rightarrow \) \({z_2}\left( {{z_3} – 3{z_1}} \right) = – {z_1}{z_3}\) \( \Rightarrow \) \(\left| {{z_3} – 3{z_1}} \right| = 2\)
\( \Rightarrow \) \(O{C^2} + 9O{A^2} – 6OC.OA\cos \widehat {AOC} = 4\) \( \Rightarrow \) \(\cos \widehat {AOC} = \frac{3}{4}\)
\( \Rightarrow \) \(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2} – 2OA.OC\cos \widehat {AOC}} = \sqrt 2 \).
Vậy \(S = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{2}\sqrt {{{\sqrt 2 }^2} – {{\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\).
Chọn \({z_3} = 2 \Rightarrow C(2;0)\)
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{2({z_1} + {z_2}) = 3{z_1}{z_2}\,(2)}\end{array}} \right.\)
Do \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\,\,\)để cho (2) đơn giản nên ta chọn \(A,B\) đối xứng nhau qua trục \(Ox\), cụ thể
Chọn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = a + bi}\\{{z_2} = a – bi}\end{array}} \right.,\,\,\,\,\,a,b \in R,\,\,b > 0,\,\,(1) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)
Từ (2) suy ra: \(2.2a = 3({a^2} + {b^2}) \Rightarrow a = \frac{3}{4} \Rightarrow b = \frac{{\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow A(\frac{3}{4};\frac{{\sqrt 7 }}{4});\,B(\frac{3}{4};\frac{{ – \sqrt 7 }}{4})\)
Gọi \(H\)là trung điểm của \(AB\)ta có \(H(\frac{3}{4};0) \Rightarrow CH = 2 – \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\)
Diện tích tam giác \(ABC\)là \(S = CH.AH = \frac{5}{4}.\frac{{\sqrt 7 }}{4} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\)
Đặt \({z_3} = 3{z_4}\) và gọi \(D\) là điểm biểu diễn của \({z_4}\).
Ta có: \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right).{z_3} = 3{z_1}{z_2}\)\( \Rightarrow \) \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_4} = {z_1}{z_2}\)\( \Rightarrow \) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{3}{4}\).
mà \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\) nên \(AB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)
Lại có \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_4} = {z_1}{z_2}\)\( \Rightarrow \) \({z_1}\left( {{z_4} – {z_2}} \right) = – {z_2}{z_4}\) và \({z_2}\left( {{z_4} – {z_1}} \right) = – {z_1}{z_4}\)
\( \Rightarrow \) \(BD = \left| {{z_4} – {z_2}} \right| = \frac{2}{3}\) và \(AD = \left| {{z_1} – {z_4}} \right| = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(DA = DB\) \( \Rightarrow \) \(OD\) là trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow \) \(CA = CB\) \( \Rightarrow \) \(\Delta CAB\) cân tại \(C\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) ta có
\(OH = \sqrt {O{A^2} – H{A^2}} = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow \) \(CH = OC – OH = \frac{5}{4}\)
Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.CH = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{2}.\frac{5}{4} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\)
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời