Đề: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   $(a_1+a_2+a_3)(a_3+a_4+a_5)(a_5+a_6+a_1)$trong đó $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ lấy các giá trị khác nhau trong tập hợp $\{1,2,3,4,5,6\}$

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   $(a_1+a_2+a_3)(a_3+a_4+a_5)(a_5+a_6+a_1)$trong đó $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ lấy các giá trị khác nhau trong tập hợp $\{1,2,3,4,5,6\}$

Lời giải

Đặt $F=(a_1+a_2+a_3)(a_3+a_4+a_5)(a_5+a_6+a_1)=F(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$
a. Tìm giá trị lớn nhất của $F$.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
    $F\leq \Big[\frac{(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)+(a_1+a_3+a_5)}{3}\Big]^3$
          $=\Big[\frac{21+(a_1+a_3+a_5)}{3}\Big]\leq \Big[\frac{21+(6+5+4)}{3}\Big]^3=1728$.
Khi lấy $a_1=6,a_2=1,a_3=5,a_4=3,a_5=4,a_6=2$ thì $F=1728$.
Vậy $F$ lớn nhất là $1728$.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của $F$.
Do vai trò bình đẳng của $a_2,a_4,a_6$ nên có thể giả sử:
      $a_2=\min (a_2,a_4,a_6)$.
Vì $F$ chỉ có không quá $6!=720$ giá trị nên giá trị nhỏ nhất của $F$ tồn tại.
Giả sử $F$ nhỏ nhất khi:
   $a_1=n_1,a_2=n_2,a_3=n_3,a_4=n_4,a_5=n_5,a_6=n_6$
với $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$.
-Nếu $n_2\leq 2 $ thì trong hai số $n_1,n_3$ phải có một số lớn hơn $n_2$ giả sử $n_1>n_2$.
Khi đó:
          $F(n_2,n_1,n_3,n_4,n_5,n_6)-Nếu $n_2=3$ thì trong hai số $n_1,n_2$ nếu có số lớn hơn $n_2$ thì dẫn đến mâu thuẫn như ở trên.Nếu $(n_1,n_3)=(1,2)$ thì thử các khả năng ta có: $F\geq 720$.
-Nếu $n_2\geq 4$ thì $n_4\geq 4, n_6\geq 4$ nên $\{n_2,n_4,n_6\}=\{4,5,6\}$ suy ra $\{n_1,n_3,n_5\}=\{1,2,3\}$. Thử các khả năng ta có $F\geq 693$.
Khi $a_1=1,a_2=4,a_3=2,a_4=5,a_5=3,a_6=6$ thì $F=693$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của $F$ là $693$