Đề bài: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – i} \right| = \sqrt 2\) và \(z^2\) là số thuần ảo.

Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow {z^2} = \left( {{a^2} – {b^2}} \right) + 2abi\).

Ta có \(z^2\) là số thuần ảo nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} – {b^2} = 0}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right.\left( 1 \right)\) 

Mặt khác \(\left| {z – i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b – 1} \right)i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 2\left( 2 \right)\) 

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} = {b^2}}\\ {{a^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2} = 2} \end{array}}\\ {ab \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {b = \frac{{1 – \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {{a^2} = {b^2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \frac{{1 – \sqrt 3 }}{2}}\\ {a = \pm \frac{{1 – \sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) 

Suy ra có bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài.