Đề bài: Cho \({z_1} = 1 + i\); \({z_2} = – 1 – i\). Tìm \({z_3} \in C\) sao cho các điểm biểu diển của  tạo thành tam giác đều.

Áp dụng công thức sau:

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z₁ trên mặt phẳng phức.

N là điểm biểu diễn của số phức z₂ trên mặt phẳng phức.

Khi đó khoảng cách giữa M và N tính bằng công thức sau:

\(MN = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)

Gọi \({z_3} = x + yi\), để các điểm \({z_1},{z_2},{z_3}\) tạo thành một tam giác đều thì:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \left| {{z_1} – {z_3}} \right|\\ \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \left| {{z_2} – {z_3}} \right| \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \\ \sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 8\\ {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 8 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3\)

Với \(y = \sqrt 3 \Rightarrow x = – \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = – \sqrt 3 + \sqrt 3 i\)

Với  \(y = – \sqrt 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \Rightarrow {z_3} = \sqrt 3 – \sqrt 3 i\)