Câu hỏi:
Cho số phức z thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của \(w=\left| {\overline z + 1 + i} \right|.\)
- A. \(\sqrt{13}+2\)
- B. 4
- C. 6
- D. \(\sqrt{13}+1\)
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {z – 2 – 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a – 2} \right) + \left( {b – 3} \right)i} \right| = 1\)
\(\Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 3} \right)^2} = 1\)
Đặt \(a – 2 = \sin t;b – 3 = \cos t.\) Khi đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {1 – b} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}\)
Ta có \({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} = {\left( {\sin t + 3} \right)^2} + {\left( {\cos t + 2} \right)^2}\)
\(= 14 + 6\sin t + 4\cos t \ge 14 + \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 14 + 2\sqrt {13}\)
Do đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| \ge 1 + \sqrt {13}\)
Trả lời