Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { – x} \right) = {x^2},\forall x \in \mathbb{R}\) . Tính \(I = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx.\)
- A. \(I = \frac{2}{3}\)
- B. \(I = 1\)
- C. \(I = 2\)
- D. \(I = \frac{1}{3}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { – x} \right) = {x^2} \Rightarrow \int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { – x} \right)} \right]} dx = \int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}dx} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( { – x} \right)} dx = \int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}} dx\)
Đặt \(t = – x \Rightarrow dt = – dx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1,t = 1}\\{x = 1,t = – 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( { – x} \right)} dx = – \int\limits_1^{ – 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( t \right)dt} \) \( = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx\)
Suy ra \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}dx} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ – 1}\end{array}} \right. = \frac{2}{3} \Rightarrow \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \frac{1}{3}.\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời