Câu hỏi:
Biết số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|\) có mô đun nhỏ nhất. Tính \(M = {a^2} + {b^2}.\)
- A. M=10
- B. M=16
- C. M=26
- D. M=8
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
\(\begin{array}{l}\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|\\ \Rightarrow \left| {a – 2 + \left( {b – 4} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b – 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 4} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a + b = 4\end{array}\)
Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {4 – a} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} – 8a + 16} = \sqrt {2{{\left( {a – 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \)
Suy ra: \(Min\left( {\left| z \right|} \right) = Min\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right) = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow M = 8\)
Trả lời