DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4\) và \(\left| {z – 1 – i} \right| = \left| {z – 3 – 3i} \right|\)
A.\(2\).
B. \(3\).
C. \(4\).
D. \(5\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Ta có
+ \(\left| {z – 1 – i} \right| = \left| {z – 3 – 3i} \right| \Leftrightarrow \left| {a + bi – 1 – i} \right| = \left| {a + bi – 3 – 3i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = {\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 3} \right)^2} \Leftrightarrow a + b – 4 = 0 \Leftrightarrow b = 4 – a\;\,\,\left( 1 \right)\).
+ \({\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| a \right| + 4\;\,\,\left( 2 \right)\).
+ Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}b = 4 – a\\{a^2} + {b^2} = 2\left| a \right| + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4 – a\\{a^2} + {\left( {4 – a} \right)^2} = 2\left| a \right| + 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4 – a\\\left[ \begin{array}{l}{a^2} – 5a + 6 = 0,\,\,a \ge 0\\{a^2} – 3a + 6 = 0,\,\,a < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Giải ra ta được \(\left[ \begin{array}{l}a = 2,b = 2\\a = 3,b = 1\end{array} \right.\).
Vậy có \(2\) số phức thỏa điều kiện bài toán.
Trả lời