DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 – i} \right| = 2\) và \(w = \left( {z + 3 – i} \right)\left( {\overline z + 1 + 3i} \right)\) là số thực?
A.\(1\). \(\)
B. \(2\).
C. \(0\).
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\). Ta có
+ \(\left( {z + 3 – i} \right)\left( {\overline z + 1 + 3i} \right) = \left[ {\left( {x + 3} \right) + \left( {y – 1} \right)i} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) + \left( {3 – y} \right)i} \right]\)
\( = {x^2} + {y^2} + 4x – 4y + 6 + 2\left( {x – y + 4} \right)i.\)
\(\left( {z + 3 – i} \right)\left( {\overline z + 1 + 3i} \right)\) là số thực khi và chỉ khi \(x – y + 4 = 0\).
+ \(\left| {z + 2 – i} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4.\)
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của \(z\) ta thấy \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta 😡 – y + 4 = 0\) và đường tròn\(\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4\) (\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { – 2;1} \right)\) và bán kính là \(R = 2\)).
Do \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} < R = 2\) nên \(\Delta \) và \(\left( C \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu.
Trả lời