DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 2i} \right)^2}\)là số thuần ảo?
A.\(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi số phức \(z\) cần tìm có dạng \(z\, = \,a\, + \,bi\,\,\left( {a,\,b\, \in \,\mathbb{R}} \right).\) Khi đó ta có
+) \(\left| {z\, + 1 – \,3i} \right|\, = \,3\sqrt 2 \, \Leftrightarrow \,\left| {a\, + 1 + \,\left( {b\, – \,3} \right)i} \right|\, = \,3\sqrt 2 \Leftrightarrow \,{\left( {a + 1} \right)^2}\, + \,{\left( {b\, – \,3} \right)^2}\, = \,18\,\,\left( 1 \right).\)
+) \({\left( {z\, + \,2i} \right)^2} = \,{\left[ {\,a\, + \left( {b + 2} \right)i} \right]^2} = {a^2} – {\left( {b + 2} \right)^2} + 2a\left( {b + 2} \right)i.\)
\({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo khi và chỉ khi \({a^2}\, – \,{\left( {b\, + \,2} \right)^2}\, = \,0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b + 2\\a = – \left( {b + 2} \right)\end{array} \right..\)
Với \(a = b + 2\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{b^2} = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Leftrightarrow a = 2\). Tìm được \(z = 2\)
Với \(a = – b – 2\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{b^2} – 4b – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1 + \sqrt 5 \\b = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.\). Tìm được \(\left[ \begin{array}{l}z = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\z = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i\end{array} \right.\)
Vậy có 3 số phức thỏa mãn bài toán.
Trả lời