DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức Z thoả mãn \((1 – 3i)z\) là số thuần ảo và \(z^2=(1+i)|z|-2(1-i)\)?
A.\(4\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\).
+ Ta có \((1 – 3i)z = \left( {1 – 3i} \right)\left( {a + bi} \right) = \left( {a + 3b} \right) + \left( {b – 3{\rm{a}}} \right)i\).
Do đó \((1 – 3i)z\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow a + 3b = 0 \Leftrightarrow a = – 3b\left( 1 \right)\)
+ Ta có \(z^2=(1+i)|z|-2(1-i)\) \( \Leftrightarrow z^2=|z|+i|z|-2+2i => z^2=|z|-2+(|z|+2)i \)
Lấy môđun hai vế, ta được \(\left| {{z^2}} \right| = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| – 2} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2}} \)
Do \(|z|^2=|z^2|\) nên khi đặt \(t=|z|^3\) ta được \({t^2} = \sqrt {{{\left( {t – 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow {t^4} = {t^2} – 4t + 4 + {t^2} + 4t + 4 \Leftrightarrow {t^4} – 2{t^2} – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} = – 2\\{t^2} = 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left( 2 \right)\).
Từ,ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = – 3b\\{a^2} + {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\\b = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\\b = \frac{{ – \sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5} + \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\\z = \frac{{3\sqrt {10} }}{5} – \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\end{array} \right.\).
Thử lại, với \(z = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5} + \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\) thì \({z^2} = \frac{2}{5}\left( {8 – 6i} \right)\) và \(\left| z \right| = 2\).
Khi đó \(\left( {1 + i} \right)\left| z \right| – 2\left( {1 – i} \right) = 2\left( {1 + i} \right) – 2\left( {1 – i} \right) = 4i\) không thỏa mãn.
Với \(z = \frac{{3\sqrt {10} }}{5} – \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\) thì \({z^2} = \frac{2}{5}\left( {8 – 6i} \right)\) và \(\left| z \right| = 2\).
Khi đó \(\left( {1 + i} \right)\left| z \right| – 2\left( {1 – i} \right) = 2\left( {1 + i} \right) – 2\left( {1 – i} \right) = 4i\) không thỏa mãn.
Vậy không có số phức nào thỏa mãn bài toán.
Trả lời