(Chuyên Vinh – 2022) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(z \cdot \bar z = |z + \bar z|\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – \sqrt 3 i} \right| + \left| {\overline {{z_2}} + \sqrt 3 i} \right|\) bằng

Câu hỏi:

A. 2.

B. \(1 + \sqrt 3 \).

C. \(2\sqrt 3 \).

D. \(\sqrt {20 – 8\sqrt 3 } \).

Lời giải:

Chọn A

Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(z.\bar z = |z + \bar z| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2|a| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} = 2a}\\{{a^2} + {b^2} = – 2a}\end{array}} \right.\).

Gọi \(A,B\) lần lượt là hai điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\).

\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1 \Rightarrow AB = 1.{\rm{ }}\)\(\)

Khi đó: \(P = \left| {{z_1} – \sqrt 3 i} \right| + \left| {\overline {{z_2}} + \sqrt 3 i} \right| = CA + CB\), với \(C(0;\sqrt 3 )\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} \ge {I_1}C – R + {I_2}C – R = 2{\rm{; v?i }}{I_1}( – 1;0),{I_2}(1;0),R = 1.{\rm{ }}\)\(\)

Dấu ” = ” xảy ra vì \(A,B\) lần lượt là trung điểm \(C{I_1},C{I_2}\) và \(AB = \frac{{{I_1}{I_2}}}{2} = 1\) (thỏa mãn)

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức