A. Kiến thức cơ bản.
- Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)
- Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)
Đặt \(\Delta=b^2-4ac\):
- Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
- Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
- Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)
* Lưu ý:
Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\) đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt).
B. Kĩ năng cơ bản.
Biết cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực.
Biết giải phương trình qui về phương trình bậc hai với hệ số thực.
C. Bài tập luyện tập.
Bài 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a) iz + 2 – i = 0
b) (2 + 3i)z = z – 1
c) (2 – i) $\overline{z}$ – 4 = 0
d) (iz – 1)(z + 3i)($z+\left( 1-2i \right)\bar{z}=2-4i$ – 2 + 3i) = 0
e) z² + 4 = 0.
Giải:
a) z =$w={{z}^{2}}-z$
b) z = $\sqrt{10}$
c) $\sqrt{2}$ = $\frac{4}{2-i}=\frac{8}{5}+\frac{4}{5}i\Rightarrow \mathrm{z=}\frac{8}{5}-\frac{4}{5}i$
d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i
e) z = ±2i.
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức
$a)\,\,{{z}^{2}}-z+1=0$ $b)\,\,{{x}^{2}}+2x+5=0$$c)\,\,{{z}^{4}}+2{{z}^{2}}-3=0$
Giải:
$a)\,\,{{z}^{2}}-z+1=0$
$\Delta =1-4=-3=3{{i}^{2}}$, căn bậc hai của $\Delta $ là $\pm i\sqrt{3}$
Phương trình có nghiệm: ${{z}_{1}}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\,\,\,\,{{z}_{2}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$b)\,\,{{x}^{2}}+2x+5=0$
$\Delta =4-20=-16=16{{i}^{2}}$; Căn bậc hai của $\Delta $ là $\pm 4i$.
Phương trình có nghiệm: ${{x}_{1}}=-1-2i,\,\,\,{{x}_{2}}=-1+2i$
$c)\,\,{{z}^{4}}+2{{z}^{2}}-3=0$ Đặt t = z2.
Phương trình trở thành:
${{t}^{2}}+2t-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align}
t=1 \\
t=-3 \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
{{z}^{2}}=1 \\
{{z}^{2}}=-3 \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
z=\pm 1 \\
z=\pm i\sqrt{3} \\
\end{align} \right.$
Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, $-i\sqrt{3},\,\,\,i\sqrt{3}$
Bài 3: Giải các phương trình bậc hai sau:
a) z² + 2z + 5 = 0
a)z² + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 (tham khảo)
Giải:
a) Xét phương trình: z² + 2z + 5 = 0
Ta có: Δ = -4 = 4i²
phương trình có hai nghiệm: z = -1 +2i và z = -1 – 2i.
b) Ta có: Δ = (1-3i)² +8(1+i) = 2i = (1+i)²
nên 1+i là một căn bậc hai của số phức 2i
Phương trình có hai nghiệm là: z = 2i ; z = -1 +i
Bài 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+2z+10=0$ Tính giá trị biểu thức $A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$
Giải:
Ta có ${{z}^{2}}+2z+10=0\Leftrightarrow {{\left( z+1 \right)}^{2}}=-9\Leftrightarrow {{\left( z+1 \right)}^{2}}={{\left( 3i \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
z=-1+3i \\
z=-1-3i \\
\end{align} \right.$
$\begin{align}
{{z}_{1}}=-1+3i\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10} \\
{{z}_{2}}=-1-3i\Rightarrow \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{10} \\
\end{align}$
Vậy $A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=20$
Bài 5 : Cho ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình $2{{z}^{2}}-4z+11=0$. Tính giá trị của biểu thức A = $\frac{{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}{{{({{z}_{1}}+{{z}_{2}})}^{2}}}$.
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}-6z+13=0$Tính $\left| z+\frac{6}{z+i} \right|$
Giải:
${{z}^{2}}-6z+13=0\Leftrightarrow {{\left( z-3 \right)}^{2}}=-4\Leftrightarrow {{\left( z-3 \right)}^{2}}={{\left( 2i \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
z=3+2i \\
z=3-2i \\
\end{align} \right.$
Với $z=3+2i$ ta có $\left| z+\frac{6}{z+i} \right|=\left| 3+2i+\frac{6}{3+3i} \right|=\left| 4+i \right|=\sqrt{17}$
Với $z=3-2i$ ta có $\left| z+\frac{6}{z+i} \right|=\left| 3-2i+\frac{6}{3-i} \right|=\frac{1}{5}\left| 24-7i \right|=5$
Bài 7: Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z): z² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm.
Giải:
Với z = 1 + i là nghiệm thì:
(1 + i)² + b(1 + i) + c = 0 ⇒ b + c + (2 + b)i = 0
b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra: b = −2, c = 2
Bài 8: Giải phương trình trên tập hợp các số phức: $\frac{4z-3+7i}{z-i}=z-2i$
Giải Điều kiện: $z\ne i$
Phương trình đã cho tương đương với ${{z}^{2}}-\left( 4+3i \right)z+1+7i=0$
Phương trình có biệt thức $\Delta ={{\left( 4+3i \right)}^{2}}-4\left( 1+7i \right)=3-4i$$={{\left( 2-i \right)}^{2}}$
Phương trình có hai nghiệm là: $z=1+2i$ và $z=3+i.$
* Phương trình quy về bậc hai
Bài 9: Giải các phương trình: z³ – 27 = 0
Giải:
\({z^3} – 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z – 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)
Giải (*):
Ta có: \(\Delta = – 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)
Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)
Bài 10: Giải phương trình trên tập hợp số phức: ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+6{{z}^{2}}-6z-16=0$
Giải:
Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2
Phương trình đã cho tương đương với $\left( z-2 \right)\left( z+1 \right)\left( {{z}^{2}}+8 \right)=0$
Giải ra ta được bốn nghiệm: $z=-1;\,\,\,z=2;\,\,\,z=\pm 2\sqrt{2}i$
Bài 11: (Đặt ẩn phụ) Giải phương trình sau trên tập số phức (z² + z)² + 4(z² + z) -12 = 0
Giải:
Đặt t = z² + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:
t² + 4t – 12 = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = – 6\\ t = 2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z^2+z+ 6=0 \\ z^2+z- 2=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow z=1,\, z=-2,\,z=z=\frac{-1\pm \sqrt{23}i}{2}$
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 12: Giải phương trình:$({{z}^{2}}-z)(z+3)(z+2)=10$,$z\in $C.
Giải:
PT$\Leftrightarrow $$z(z+2)(z-1)(z+3)=10\Leftrightarrow $$({{z}^{2}}+2z)({{z}^{2}}+2z-3)=0$
Đặt $t={{z}^{2}}+2z$. Khi đó phương trình (8) trở thành:
Đặt $t={{z}^{2}}+2z$. Khi đó phương trình (8) trở thành
${{t}^{2}}-3t-10=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
t=-2 \\
t=5 \\
\end{align} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{align}
& z=-1\pm i \\
& z=-1\pm \sqrt{6} \\
\end{align} \right.$
Vậy phương trình có các nghiệm: $z=-1\pm \sqrt{6}$;$z=-1\pm i$
Bài 13: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$là bốn nghiệm của phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}-2{{z}^{2}}+6z-4=0$ trên tập
số phức tính tổng: $S=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}+\frac{1}{z_{3}^{2}}+\frac{1}{z_{4}^{2}}$.
Giải:
PT: ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}-2{{z}^{2}}+6z-4=0$$\Leftrightarrow \left( z-1 \right)\left( z+2 \right)\left( {{z}^{2}}-2z+2 \right)=0$(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1) là
$\left[ \begin{align}
& {{z}_{1}}=1 \\
& {{z}_{2}}=-2 \\
& {{z}_{3}}=1+i \\
& {{z}_{4}}=1-i \\
\end{align} \right.$
Thay và biểu thức ta có: $S=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}+\frac{1}{z_{3}^{2}}+\frac{1}{z_{4}^{2}}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{{\left( 1-i \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+i \right)}^{2}}}=\frac{5}{4}$
D. Bài tập Trắc nghiệm.
Câu 1.Trong $\mathbb{C}$, phương trình $iz+2-i=0$ có nghiệm là:
A. $z=1-2i$.
B. $z=2+i$.
C. $z=1+2i$.
D. $z=4-3i$.
Câu 2.Trong $\mathbb{C}$, phương trình $(2+3i)z=z-1$ có nghiệm là:
A. $z=\frac{7}{10}+\frac{9}{10}i$.
B. $z=-\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i$.
C. $z=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}i$.
D. $z=\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i$.
Câu 3.Cho số phức $z$ thỏa mãn:$\bar{z}(1+2i)=7+4i$. Tìm mô đun số phức $\omega =z+2i$.
A. 4.
B. $\sqrt{17}$.
C. $\sqrt{24}$.
D. 5.
Câu 4.Trong $\mathbb{C}$, phương trình $\left( 2-i \right)\overline{z}-4=0$ có nghiệm là:
A. $z=\frac{8}{5}-\frac{4}{5}i$
B. $z=\frac{4}{5}-\frac{8}{5}i$
C. $z=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}i$
D. $z=\frac{7}{5}-\frac{3}{5}i$
Câu 5.Trong $\mathbb{C}$, phương trình $\left( iz \right)\left( \bar{z}-2+3i \right)=0$ có nghiệm là:
A. $\left[ \begin{align}
& z=0 \\
& z=2-3i \\
\end{align} \right.$.
B. $\left[ \begin{align}
& z=0 \\
& z=5+3i \\
\end{align} \right.$.
C. $\left[ \begin{align}
& z=0 \\
& z=2+3i \\
\end{align} \right.$.
D. $\left[ \begin{align}
& z=0 \\
& z=2-5i \\
\end{align} \right.$.
Câu 6.Cho số phức thỏa mãn $z+\left( 1-2i \right)\bar{z}=2-4i$. Tìm môđun của $w={{z}^{2}}-z$
A. $\sqrt{10}$.
B. 10.
C. 2.
D. $\sqrt{2}$.
Câu 7.Trong $\mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{2}}-z+1=0$ có nghiệm là
A. $\left[ \begin{align}
& z=1+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\
& z=1-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\
\end{align} \right.$.
B. $\left[ \begin{align}
& z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\
& z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\
\end{align} \right.$.
C. $\left[ \begin{align}
& z=1+\frac{\sqrt{5}}{2}i \\
& z=1-\frac{\sqrt{5}}{2}i \\
\end{align} \right.$.
D. $\left[ \begin{align}
& z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}i \\
& z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}i \\
\end{align} \right.$.
Câu 8.Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$là các nghiệmcủa phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$. Tính $P=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$
A. $-14$.
B. $14$.
C. $-14i$.
D. $14i$.
Câu 9.Gọi ${{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+2z+5=0$. Giá trị của $A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$
A. 6.
B. 8.
C. 10.
D. $\sqrt{10}$
Câu 10.Gọi ${{z}_{1}}$là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình ${{z}^{2}}+2z+3=0$. Tọa độ điểm $M$biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là:
A. $M(-1;2)$.
B. $M(-1;-2)$.
C. $M(-1;-\sqrt{2})$.
D. $M(-1;-\sqrt{2}i)$.
Câu 11.Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$lần lượt là nghiệmcủa phươngtrình: ${{z}^{2}}-2z+5=0$. Tính $F=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$
A. $2\sqrt{5}$.
B. 10.
C. 3.
D. 6.
Câu 12.Nghiệm của phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-2=0$là
A. $2;-1$.
B. $\pm \sqrt{2};\,\,\pm i$.
C. $\pm 1;\,\,\pm i\sqrt{2}$.
D. $2$,$\pm i$.
Câu 13.Cho số phức $z=3+4i\,$ và $\bar{z}$ là số phức liên hợp của $z$. Phương trình bậc hai nhận $z$ và $\bar{z}$ làm nghiệm là
A. ${{z}^{2}}-6z+25=0$.
B. ${{z}^{2}}+6z-25=0$.
C. ${{z}^{2}}-6z+\frac{3}{2}i=0$.
D. ${{z}^{2}}-6z+\frac{1}{2}=0$.
Câu 14.Trong $\mathbb{C}$, Phương trình ${{z}^{3}}+1=0$ có nghiệm là
A. $-1$.
B. $-1;\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$.
C. $-1$; $\frac{5\pm i\sqrt{3}}{4}$.
D. $-1;\frac{2\pm i\sqrt{3}}{2}$.
Câu 15.Trong $\mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{4}}-1=0$ có nghiệm là
A. $\left[ \begin{matrix}
z=\pm 2 \\
z=\pm 2i \\
\end{matrix} \right.$.
B. $\left[ \begin{matrix}
z=\pm 3 \\
z=\pm 4i \\
\end{matrix} \right.$.
C. $\left[ \begin{matrix}
z=\pm 1 \\
z=\pm i \\
\end{matrix} \right.$.
D. $\left[ \begin{matrix}
z=\pm 1 \\
z=\pm 2i \\
\end{matrix} \right.$.
Câu 16.Trong $\mathbb{C}$, biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-\sqrt{3}z+1=0$. Khi đó, tổng bình phương của hai nghiệm có giá trị bằng:
A. 0.
B. 1.
C. $\sqrt{3}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Câu 17.Tìm số phức $z$ thỏa mãn: $\left| z-\left( 2+i \right) \right|=\sqrt{10}$ và $z.\overline{z}=25$.
A. $z=3+4i$ hoặc $z=5$.
B. $z=-3+4i$ hoặc $z=-5$.
C. $z=3-4i$ hoặc $z=5$.
D. $z=4+5i$ hoặc $z=3$.
Câu 18.Phương trình $iz+2-i=0$ (với ẩn z) có nghiệm là:
A. $1+1i$.
B. $1+2i$.
C. $1-2i$.
D. $1-i$.
Câu 19.Các căn bậc hai của số phức $1+4\sqrt{3}i$ là:
A. $\pm \sqrt{3}\left( 2-i \right)$.
B. $\pm \left( 2-i\sqrt{3} \right)$.
C. $\pm \left( 2+i\sqrt{3} \right)$.
D. $\pm \sqrt{3}\left( 2+i \right)$.
Câu 20.Phương trình $z+\frac{1}{z}=\sqrt{2}$ có nghiệm là:
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1\pm i \right)$.
B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1\pm i \right)$.
C. $\frac{1}{2}\left( 1\pm i \right)$.
D. $-\frac{1}{2}\left( 1\pm i \right)$.
Câu 21.Phương trình ${{z}^{4}}+4=0$ có nghiệm là:
A. $\pm \left( 1+i \right)$ và $\pm \left( 1-i \right)$.
B. $\pm \left( 1+i \right)$ và $\pm \left( 2-i \right)$.
C. $\pm \left( 2+i \right)$ và $\pm \left( 1-i \right)$.
D. $\pm \left( 2+i \right)$ và $\pm \left( 2-i \right)$.
Câu 22.Phương trình $iz+2-i=0$ (với ẩn z) có nghiệm là:
A. $1+1i$.
B. $1+2i$.
C. $1-2i$.
D. $1-i$.
Câu 23.Các căn bậc hai của số phức $1+4\sqrt{3}i$ là:
A. $\pm \sqrt{3}\left( 2-i \right)$.
B. $\pm \left( 2-i\sqrt{3} \right)$.
C. $\pm \left( 2+i\sqrt{3} \right)$.
D. $\pm \sqrt{3}\left( 2+i \right)$.
Câu 24.Phương trình $z+\frac{1}{z}=\sqrt{2}$ có nghiệm là:
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1\pm i \right)$.
B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 1\pm i \right)$.
C. $\frac{1}{2}\left( 1\pm i \right)$.
D. $-\frac{1}{2}\left( 1\pm i \right)$.
Câu 25.Phương trình ${{z}^{4}}+4=0$ có nghiệm là:
A. $\pm \left( 1+i \right)$ và $\pm \left( 1-i \right)$.
B. $\pm \left( 1+i \right)$ và $\pm \left( 2-i \right)$.
C. $\pm \left( 2+i \right)$ và $\pm \left( 1-i \right)$.
D. $\pm \left( 2+i \right)$ và $\pm \left( 2-i \right)$.
Đáp án:
1C | 2B | 3D | 4A | 5C | 6D | 7B | 8A | 9C | 10C | 11A | 12B | 13A | 14B | 15C |
16B | 17_ | 18B | 19C | 20A | 21A | 22B | 23C | 24A | 25A |
Trả lời