1) Nhắc lại kiến thức:
– Ở dạng này có thể là rút gọn, tính giá trị của một biểu thức chỉ chứa các con số.
VD: Rút gọn biểu thức $\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}$.
– Hay là rút gọn tính giá trị của một biểu thức chứa tham số như: $a,b,c,x,y,z,…$
VD: Rút gọn biểu thức:$\dfrac{x^2y-xy^2}{xy}$.
– Để giải những bài toán thế này chúng ta cần phải nắm rõ các công thức biến đổi đặc biệt trong căn thức (liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương, khử mẫu trục căn thức,đưa thừa số dấu căn, quy đồng, tìm mẫu số chung,…) và 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà các bạn đã được học năm lớp 8. Ngoài ra còn rất nhiều hằng đẳng thức mở rộng mà thường được áp dụng vào bài tập như:
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab $
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab $
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca $
$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a) $
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) $
$a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b) $
$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+…+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \; (n \epsilon \mathbb{N}^*) $
$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-…+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1}) \; (n\epsilon \mathbb{N}^*, n \text{ lẻ})$
Ngoài ra còn rất nhiều hằng đẳng thức, kết quả quan trọng khác nhưng ở trên là những hằng đẳng thức thường gặp.
2) Một số dạng toán cơ bản:
* Dạng 1: Rút gọn biểu thức chỉ toàn chứa số.
– Vận dụng các phép biến đổi cơ bản, các hằng đẳng thức đã được học để giải quyết vấn đề. Chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ bài toán cơ bản đưa về hằng đẳng thức sau:
VD1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{11-2\sqrt{10}}$
Phân tích. Những dạng khi có dấu căn như thế này thì ta sẽ cố gắng đưa các con số trong căn thành bình phương của một tổng tức là sẽ có dạng $(a+b)^2$ hay $a^2+b^2+2ab$. Tới đây đồng nhất hệ số cần tìm $a,b$ sao cho $a^2+b^2=11,ab=-\sqrt{10}$ bằng cách nhẩm: Dễ thấy có 1 bộ số thỏa mãn $a=\sqrt{10};b=-1$, từ đó ta sẽ có: $\sqrt{11-2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{10}-1)^2}=|\sqrt{10}-1|$
Tới đây ta cần để ý kiến thức quen thuộc nhưng vô cùng quan trọng sau:
$|A|=\left\{\begin{matrix}
A &,\forall A \geqslant 0 \\
-A &,\forall A < 0
\end{matrix}\right.$
Khi đó dễ thấy $\sqrt{10}>\sqrt{1}=1 \Rightarrow |\sqrt{10}-1|=\sqrt{10}-1$
VD2 (Dạng toán sử dụng kĩ thuật trục căn thức ở mẫu để khử căn):
Rút gọn: $B=\sqrt{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})+\dfrac{39}{7+\sqrt{10}}}$
Phân tích. Đầu tiên, quan sát trong căn thức ta thấy có có chứa phân số có mẫu số là căn thức, vì vậy ta nghĩ ngay tới việc sẽ thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân một lượng liên hợp để mẫu xuất hiện bình phương một tổng $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Phần còn lại chúng ta sẽ thực hiện phép nhân với các số trong ngoặc và mong rằng sẽ rút gọn được với phần vừa liên hợp. Coi $7$ là $a$ và $\sqrt{10}$ là $b$.Vậy nên ta sẽ tiến hành nhân cả tử lẫn mẫu cho $7-\sqrt{10}$.
Lời giải. $$B=\sqrt{\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{5})+\dfrac{39}{7+\sqrt{10}}} \\
B=\sqrt{4-\sqrt{10}+\dfrac{39(7-\sqrt{10})}{(7+\sqrt{10})(7-\sqrt{10})}} \\
B=\sqrt{4-\sqrt{10}+\dfrac{39(7-\sqrt{10})}{39}} \\
B=\sqrt{4-\sqrt{10}+7-\sqrt{10}} \\
B=\sqrt{11-2\sqrt{10}}$$
Tới đây đã trở thành bài toán ở VD1.
– Trên đấy là những ví dụ mở đầu trong quá trình làm bài tập tự luyện và làm đề các bạn sẽ hiểu hơn…
* Dạng 2: Tìm điều kiện xác định khi rút gọn các biểu thức chứa tham số:
– Dạng này có một số kiến thức khi tìm điều kiện xác định: Muốn căn bậc hai số học $\sqrt{a}$ (Trong đề bài nếu không nói gì thêm thì tự hiểu là căn bậc hai số học) tồn tại thì $a \geqslant 0$. Muốn phân số tồn tại thì mẫu số phải $\neq 0$,… Xem các ví dụ sau đây:
VD: Tìm điều kiện xác định của $P=\dfrac{1}{1-\sqrt{x^2-4}}$.
Phân tích. Để ý có xuất hiện căn thức nên đầu tiên ta sẽ cho căn thức $ \geqslant 0$ tiếp theo đó thấy có mẫu số nên ta sẽ tìm điều kiện cho mẫu số $ \neq 0$.
Lời giải. ĐKXĐ : $\left\{\begin{matrix}
x^2-4 \geqslant 0 \\
\sqrt{x^2-4} \neq 1
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2 \geqslant 4 \\
x^2-4 \neq 1
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
|x| \geqslant 2 \\
x^2 \neq 5
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[ \begin{matrix} x \geqslant 2 \\
x \leqslant -2 \\
\end{matrix} \right. \\
x \neq \sqrt{5} \\
x \neq -\sqrt{5}
\end{matrix}\right.$
Lưu ý. Tìm điều kiện xác định là một bước vô cùng quan trọng trong giải các bài toán liên quan tới rút gọn biểu thức có chứa tham số, nhiều vấn đề khác như giải phương trình, hệ phương trình, … và là một bước khá dễ để có điểm trong các kì thi vậy nên chúng ta phải hết sức kĩ lưỡng và cẩn trọng trong phần này.
– Tiếp theo mình sẽ giới thiệu cho các bạn về một số đẳng thức, bất đẳng thức khá hay được sử dụng trong các kì thi, được chứng minh bằng cách rút gọn:
* Nếu $a+b+c=0$ và $a,b,c \neq 0$ thì ta có:
$$\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}|$$
(Hướng dẫn chứng minh bình phương 2 vế sau đó sử dụng giả thuyết).
* $\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(Nhân liên hợp ta sẽ có điều phải chứng minh).
* $\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$
* Với $k \in \mathbb{N}^*$ ta có
$$2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})<\dfrac{1}{\sqrt{k}}<2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$$
Một số bài tập tự luyện cho các kiến thức trên:
Bài 1. Tìm điều kiện xác định:
a) $A=\dfrac{1}{x^2-8x+15}$.
b) $B=\sqrt{x^2-x+1}$.
c) $C=\dfrac{1}{\sqrt{2x-{\sqrt{4x-1}}}}$
d) $D=\dfrac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{2x+1}}+\sqrt{x^2-8x+14}$
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) $A=\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{9+4\sqrt{5}}$
b) $B=\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}$
c) $C=(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$
d) (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Hồ Chí Minh 2016-2017)
$D=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{2+\sqrt{3}}{1-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$
e) $E=(\sqrt{1+2\sqrt{27\sqrt{2}-38}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}) : (\sqrt{3\sqrt{2}-4})$
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức:
a) $A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{68}+\sqrt{69}}$
b) $B=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+…+\sqrt{1+\dfrac{1}{63^2}+\dfrac{1}{64^2}}$
Bài 4. Chứng minh rằng:
$$A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}>\dfrac{9}{4}$$
* Dạng 3: Rút gọn biểu thức có chứa tham số và một số vấn đề liên quan (ĐKXĐ; tính giá trị biểu thức tại $x=…$; giá trị nhỏ nhất, lớn nhất; tìm $x$ để biểu thức đạt giá trị nguyên; giải phương trình…)
Hướng làm. B1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
B2: Rút gọn biểu thức.
B3: Thực hiện các yêu cầu của đề bài (Một số vấn đề liên quan ở trên).
B4: Kết luận (Những giá trị của tham số có thỏa mãn ĐKXĐ không?).
– Xét ví dụ sau đây:
VD1: Cho biểu thức: $P=\dfrac{8\sqrt{x}-x-31}{x-8\sqrt{x}+15}-\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3\sqrt{x}-1}{5-\sqrt{x}}$.
a) Rút gọn $P$
b) Tìm các giá trị của $x$ để $P<1$
c) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P$ có giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải. a) Đầu tiên như đã nói ở trên những bài dạng này bước đầu tiên là phải tìm điều kiện xác định của biểu thức theo hướng dẫn như trên thì ta sẽ có điều kiện xác định của biểu thức sẽ là:
$$\left\{\begin{matrix}
&x \geqslant 0 \\
&\sqrt{x}-3 \neq 0 \\
&5-\sqrt{x} \neq 0 \\
&x-8\sqrt{x}+15=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-5) \neq 0
\end{matrix}\right.$$
Dễ dàng giải điều kiện trên ta sẽ được: điều kiện xác định là:$x \geqslant 0,x \neq 9,x \neq 25$.
Việc tiếp theo là rút gọn biểu thức (Chúng ta sẽ thực hiện quy đồng biểu thức và rút gọn chú yếu là đặt dấu phù hợp để có được mẫu số chung phù hợp). Từ đó ta sẽ rút gọn được biểu thức thành: $P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$
b) Sai lầm thường gặp.
$P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}<1
\\ \Leftrightarrow \sqrt{x}+1<\sqrt{x}-5 \\ \Leftrightarrow -5>1$
Điều này vô lý, do đó không tồn tại $x$ thỏa mãn điều kiện.
Nhận xét. Theo đề bài cần tìm $x$ sao cho : $P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}<1$. Tới đây nhiều bạn sẽ nhanh tay nhân $\sqrt{x}-5$ vào 2 vế và rút gọn chuyển vế. Nhưng liệu thực sự đã đúng chưa? Câu trả lời là hoàn toàn chưa đúng, vì $\sqrt{x}-5$ đã dương đâu. Nếu nó âm thì khi nhân 2 vế thì rõ ràng chiều của bất đẳng thức sẽ bị đổi chiều. Do đó chúng ta phải chuyển 1 qua và quy đồng lên.
Lời giải đúng:
$P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}<1\\\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}-1<0
\\\Leftrightarrow \dfrac{6}{\sqrt{x}-5}<0
\\\Leftrightarrow \sqrt{x}-5<0\\\Leftrightarrow x<25$
Tới đây nhiều bạn không mắc sai lầm trên nhưng lại mắc sai lầm là kết luận ngay $x<25$ sẽ thỏa mãn điều kiện. Vậy điều kiện xác định các bạn vứt đi đâu? Phải kết hợp được ĐKXĐ thì mới thu được các giá trị $x$ thỏa mãn. Do đó điều kiện của $x$ thỏa là: $\left\{\begin{matrix}
&0<x<25 & \\
&x \neq 9 & \\
\end{matrix}\right.$
c) Phân tích. Đầu tiên, những dạng bài toán này mình sẽ đưa về dạng phân số trong đó tử số sẽ là một số nguyên và mẫu số là một biểu thức có tham số. VD: $\dfrac{1}{2x-1}$,… Sau đó muốn biểu thức nguyên thì mẫu phải là ước của tử số, từ đó có thể tìm ra x thích hợp.
Lời giải. Từ ý tưởng trên ta sẽ tách ra thành : $P=1+\dfrac{6}{\sqrt{x}-5}$.
Muốn $P$ nguyên thì rõ ràng $\dfrac{6}{\sqrt{x}-5}$ phải nguyên.Từ đó $\sqrt{x}-5 \in Ư(6)=\{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}$. Tới đây bạn sẽ tìm ra $x$ và sẽ kiểm tra lại điều kiện xác định xem có $x$ nào thỏa không? Nếu thỏa thì nhận còn, không thì chúng ta sẽ loại.
Nhận xét chung. Qua bài toán này chúng ta nhận thấy việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng, nhắc chúng ta lại một chút kiến thức về bất phương trình (Nhân 2 vế với số âm thì bđt đổi chiều) và cách tìm $x$ nguyên để biểu thức nguyên. Chúng ta sẽ chuyển qua ví dụ tiếp theo:
VD2: Cho biểu thức: $B=(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1-\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{ab}}) : (1+\dfrac{a+b+2ab}{1-ab})$
a)Rút gọn và tìm giá trị của $B$ khi $a=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}$
b)Tìm max của $P$
Hướng dẫn giải. a) + Như ví dụ trên, đầu tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định, bước đầu sẽ là: $a,b \geqslant 0,ab \neq 1$, còn điều kiện để phần $1+\dfrac{a+b+2ab}{1-ab} \neq 0$ mình sẽ để đó sau (Vì nếu giải ra khá phức tạp). Đến một bước nào đó, ta sẽ tính được biểu thức chia này, chẳng hạn $B = \ldots \cdot \dfrac{1 – ab}{(a+1)(b+1)}$. Lúc này ta sẽ mở ngoặc và ghi “ĐK bổ sung : …”, nhưng do may mắn nhờ $a, b \geqslant 0$ nên $a, b \ne -1$, ta không cần ghi ĐK bổ sung nữa.
+ Tiếp theo đó là phần rút gọn phần này thì các bạn sẽ vận dụng các kiến thức ở trên để rút gọn và kết quả thu được sẽ là : $B=\dfrac{2\sqrt{a}}{a+1}$.
+ Tính giá trị của $B$ khi $a=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}$. Nếu để $a$ thế này thay ngay vào $B$ thì khá cồng kềnh, vì vậy mình sẽ rút gọn $a$ bằng cách liên hợp lên: $a=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=4-2\sqrt{3}$.
Tới đây xuất hiện $4-2\sqrt{3}$, đây là một kết quả khá là quen thuộc và ta có thể đưa về dạng bình phương: $\sqrt{a}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{3}-1$.
Từ đây thay vào, dễ dàng tính được giá trị của biểu thức.
b) Phân tích. Để ý thấy nếu lấy tử số chia cho mẫu số thì sẽ xuất hiện dạng $\dfrac{\sqrt{a}}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}$ thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì hoàn toàn tìm được max của $P$.
Vậy chúng ta nghĩ ngay tới sẽ chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{a}$ hoặc là đánh giá $\dfrac{1}{B}$.Ta sẽ chọn 1 cách là chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{a}$.
Sai lầm thường gặp. Ở đây sẽ nhiều bạn mắc sai lầm là chia ngay cả tử và mẫu cho $\sqrt{a}$. $a$ có thể bằng $0$, vậy liệu chia cả tử với mẫu cho $0$ có được không? Câu trả lời hoàn toàn là KHÔNG. Vậy nên đầu tiên ta sẽ xét $a=0$ sau đó mới tiến hành chia.
Lời giải. + Xét $a=0$ thì $B=0$
+ Xét $a \neq 0$ :
$$B=\dfrac{2\sqrt{a}}{a+1}=\dfrac{2}{\sqrt{a}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}}\geqslant \dfrac{2}{2.\sqrt{\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}}}=1$$.
Dấu ‘=’ xảy ra khi $a=1$.
Thay vào điều kiện thì thấy $B$ đạt min khi $a=1$ và $ab \neq 1$ (Mặc dù khi rút gọn biểu thức mất hết $b$ nhưng ngay từ đầu nếu cho $ab=1$ thì rõ ràng không tồn tại biểu thức).
Nhận xét chung. Từ đầu là một biểu thức thức rất cồng kềnh, gồm 2 biến nhưng khi rút gọn chỉ còn một biểu thức khá đẹp với 1 biến. Và lưu ý rằng, muốn chia cả tử và mẫu cho 1 số thì số đó phải khác $0$.
Chúng ta sẽ nghiên cứu một ví dụ cuối cùng sau đây.
VD3: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 TP. Hà Nội 2016-2017):
Cho $A=\dfrac{7}{\sqrt{x}+8}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$.
a)Tính giá trị của biểu thức A khi $x=25$.
b)Rút gọn $B$
c)Cho $P=A.B$ tìm $x$ để $P$ nguyên.
Hướng dẫn giải. a) Các bạn tự tìm ĐKXĐ sau đó thay $x=25$ vào rồi tính nhé.
b) Tìm ĐKXĐ sau đó quy đồng phân tích nhân tử rút gọn ta sẽ được:$B=\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$.
c) Khi đó dễ dàng tính được $P=\dfrac{7}{\sqrt{x}+3}$.
Sai lầm thường gặp. Để P nguyên thì $\sqrt{x}+3$ phải là $Ư(7)=\{1,7\}$ (do $\sqrt{x}+3>0$ nên loại giá trị âm.Thay vào tìm được $x$ thỏa mãn là $x=16$.
Liệu kết quả trên đã đúng chưa? Đúng nhé =)), kết quả trên hiển nhiên đúng vì thay $x=16$ vào biểu thức thì thấy thỏa mãn ngay. Nhưng liệu có ĐỦ nghiệm không? Xin thưa là hoàn toàn không nhé. $x$ ở đây có thể không nguyên (có thể là số hữu tỉ) nên $\sqrt{x}+3$ chưa chắc là $Ư(7)$.
Phân tích. Vậy làm sao tìm $x$ để $P$ nguyên? Có thể nghĩ tới ý tưởng là giới hạn $P$ trong một khoảng nào đó, xong, do $P$ nguyên nên ta sẽ có một vài trường hợp. Ứng với mỗi trường hợp ta sẽ tìm được $x$.
Do vậy cần tìm min và max của $P$.
Lời giải đúng. Đầu tiên dễ nhận ngay ra rằng: $P = \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}>0$.
Ta đã có min giờ sẽ tìm max. Ta có $$\sqrt{x} \geqslant 0
\\\Rightarrow \sqrt{x}+3\geqslant 3
\\\Rightarrow \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}\leqslant \dfrac{7}{3}$$
Do đó: $0<P\leqslant \dfrac{7}{3} \\\Rightarrow P=1 ; P=2 \; (\text{do } P \in \mathbb{N})$.
Tới đây ta sẽ thay $P=1 ; P=2$ vào tìm $x$, xem có thỏa ĐKXĐ, không nếu thỏa thì chúng ta sẽ loại.
Kết quả là sẽ thu được $x=16,x=\dfrac{1}{4}$ thỏa.
Nhận xét chung.
Ở đây ta đã nhận thêm một nghiệm là $x=\dfrac{1}{4}$ làm cho P nguyên. Điều mình muốn nhấn mạnh ở đây chính là dạng toán tìm $x$ để $P$ nguyên khác với tìm $x$ nguyên để $P$ nguyên. Nếu không cẩn thẩn chúng ta sẽ mất điểm ở những bài rút gọn tưởng chừng cơ bản như vậy.
Đó chính 3 VD mà mình muốn đề cập tới một số dạng khi rút gọn biểu thức. Và trong quá trình luyện đề chúng ta sẽ có thể gặp thêm nhiều dạng hơn, và sẽ dần quen với dạng này hơn.
Sau đây là một số bài tập tự luyện để các bạn quen hơn với dạng toán này:
Bài 1. (Đề thi học sinh giỏi huyện Đắc R’Lấp 2016-2017)
Cho $P=(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$.
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn $P$
b) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=(\sqrt{7}-\sqrt{3})\sqrt{10+2\sqrt{21}}$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$
Bài 2. (Sưu tầm)
Cho $A=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x+1}}-\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$
Rút gọn $B=1-\sqrt{A+x+1}$ với $0 \leqslant x \leqslant 1$
Bài 3. (Đề thi Chu Văn An+Ams 2003-2004)
Cho $P=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}$.
a) Rút gọn $P$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$
c) Tìm $x$ để biểu thức $Q=\dfrac{2\sqrt{x}}{P}$ nhận giá trị nguyên.
Trả lời