Cho \({z_1},{z_2}\) là hai số phức thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1} \right| = \left| {{z_1} + i} \right|\), \(\left| {{z_2} – 1 – 2i} \right| = \left| {{z_2} – 2 + i} \right|\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 3\sqrt 2 \). Khi \(\left| {{z_2}} \right|\) đạt giá trị lớn nhất thì \(\left| {{z_1}} \right|\) bằng
A. \(\left| {{z_1}} \right| = 3\sqrt 2 \).
B. \(\left| {{z_1}} \right| = 6\sqrt 2 \).
C. \(\left| {{z_1}} \right| = 9\sqrt 2 \).
D. \(\left| {{z_1}} \right| = 4\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn cho số phức \({z_1}\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \({d_1} & 😡 – y = 0\).
Gọi \(B\) là điểm biểu diễn cho số phức \({z_2}\) thì \(B\) thuộc đường thẳng \({d_2} & 😡 – 3y = 0\).
Ta có \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = AB = 3\sqrt 2 \), \(\left| {{z_1}} \right| = OA,\;\left| {{z_2}} \right| = OB\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có hệ số góc lần lượt là \({k_1} = 1,{k_2} = \frac{1}{3}\) nên \(\tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \widehat {AOB} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác \(AOB\) ta có \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}} = \frac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}}\)
\( \Rightarrow OB = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB} \le \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}} = 3\sqrt {10} \).
Do đó \(\left| {{z_2}} \right| = OB\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \widehat {OAB} = 1 \Rightarrow \widehat {OAB} = {90^0}\) hay tam giác \(AOB\) vuông tại \(A\), khi đó \(\widehat {AOB} = \alpha \) nên trong tam giác vuông \(AOB\) ta có \(\left| {{z_1}} \right| = OA = \frac{{AB}}{{\tan \alpha }} = 6\sqrt 2 \).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời