Cho \(z = x + yi\) với \(x\), \(y\)\( \in \mathbb{R}\) là số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overline z  + 2 – 3i} \right| \le \left| {z + i – 2} \right| \le 5\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 8x + 6y\). Tính \(M + m\).

Câu hỏi: Cho \(z = x + yi\) với \(x\), \(y\)\( \in \mathbb{R}\) là số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overline z  + 2 – 3i} \right| \le \left| {z + i – 2} \right| \le 5\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 8x + 6y\). Tính \(M + m\). A. \(60 + 2\sqrt {10} \).  B. \(\frac{{156}}{5} – 20\sqrt {10} \).  C. \(60 – 20\sqrt {10} \).  D. \(\frac{{156}}{5} + 20\sqrt {10} \). LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Theo bài ra: \(\left| {\overline z  + 2 – 3i} \right| \le \left| {z + i – 2} \right| \le 5\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( { – y – 3} \right)}^2}}  \le \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  \le 5\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \le 0\\{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 25\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \)tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là miền mặt phẳng \(\left( T \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 2 \le 0\\{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 25\end{array} \right.\) (là miền tô đậm trên hình vẽ, kể cả biên) – Gọi \(A\left( {2; – 6} \right)\), \(B\left( { – 2;2} \right)\) là các giao điểm của đường thẳng \(2x + y + 2 = 0\) và đường tròn \(\left( {C’} \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25\). – Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} + 8x + 6y\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = P + 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(J\left( { – 4; – 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {P + 25} \). – Đường tròn \(\left( C \right)\) cắt miền \(\left( T \right)\) khi và chỉ khi \(JK \le R \le JA\)\( \Leftrightarrow IJ – IK \le R \le IA\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {10}  – 5 \le \sqrt {25 + P}  \le 3\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow 40 – 20\sqrt {10}  \le P \le 20\) (trong đó \(JK\) là bán kính đường tròn tâm \(J\) và tiếp xúc ngoài với đường tròn \(\left( {C’} \right)\)) \( \Rightarrow M = 20\) và \(m = 40 – 20\sqrt {10} \). Vậy \(M + m = 60 – 20\sqrt {10} \). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.