Cho \(z\) và \({\rm{w}}\) là các số phức thỏa mãn các điều kiện \({\rm{w}}\left( {z + 1} \right) + iz – 1 = 0\) và điểm biểu diễn số phức \(z\) nằm trên đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {{\rm{w}} + 1 – 2i} \right|\) bằng
A. \(\sqrt 2 \).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(3\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta thấy do điểm biểu diễn số phức \(z\) nằm trên đường tròn tâm \(O(0;0)\) và bán kính bằng \(1\) nên suy ra \(\left| z \right|\, = \,1\).
Giả thiết \({\rm{w}}\left( {z + 1} \right) + iz – 1 = 0 \Leftrightarrow z = \frac{{1 – {\rm{w}}}}{{i + {\rm{w}}}}\).
Từ:\(\left| z \right|\, = \,1\) ta có \(\left| {\frac{{1 – {\rm{w}}}}{{i + {\rm{w}}}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {1 – {\rm{w}}} \right| = \left| {{\rm{w}} + i} \right|\)
Đặt \({\rm{w}} = x + yi,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có \(\left| {1 – x – yi} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {\left( {1 – x} \right)^2} + {\left( { – y} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2} + {x^2} \Leftrightarrow y = – x\)
Khi đó \(T = \left| {x + yi + 1 – 2i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( { – x – 2} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} + 6x + 5} \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({T_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), dấu bằng xảy ra \(x = – \frac{3}{2};y = \frac{3}{2}\), hay \({\rm{w}} = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời