Câu hỏi:
Cho số phức \(z\)và số phức \(u = \left( {z – i} \right)\left( {\overline z + i} \right) + 2z – 3i\) thỏa mãn \(\left| {u + 1} \right| – \left| {\overline u – i} \right| = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \left| {z – 2 + 3i} \right|\) bằng:
A. \(\sqrt {34} – 1\).
B. \(1 + \sqrt {34} \).
C. \(2 + \sqrt {13} \).
D. \(3 + \sqrt {17} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(u = x + yi\) với \(x,y \in R \Rightarrow \) hệ thức \(\left| {u + 1} \right| – \left| {\overline u – i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {x + yi + 1} \right| = \left| {x – yi – i} \right|\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow x = y \Rightarrow \) số phức \(u\) có phần thực bằng phần ảo.
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in R \Rightarrow \)\(u = \left( {z – i} \right)\left( {\overline z + i} \right) + 2z – 3i = {\left| z \right|^2} + i\left( {z – \overline z } \right) + 1 + 2z – 3i\) \( = {a^2} + {b^2} + i\left( {2bi} \right) + 1 + 2\left( {a + bi} \right) – 3i\) \( = \left( {{a^2} + {b^2} + 2a – 2b + 1} \right) + \left( {2b – 3} \right)i\)
Suy ra: \(\left( {{a^2} + {b^2} + 2a – 2b + 1} \right) = \left( {2b – 3} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 1\)
Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\)có tâm \(I\left( { – 1;2} \right)\)và bán kính \(R = 1\)
Biểu thức \(T = \left| {z – \left( {2 – 3i} \right)} \right| = MA\), với điểm \(M\)biểu diễn số phức \(z\) và nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\); điểm \(A\left( {2; – 3} \right)\). Suy ra \(T = MA \le MI + IA = R + IA = 1 + \sqrt {34} \).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời