Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(\left| {iz – 3 + 4i} \right| = 5\) và biểu thức \(H = {\left| {z + 3} \right|^2} – {\left| {z – 4i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính môdun của số phức \({\rm{w}} = iz + 3\).
A. \(2\sqrt 2 .\)
B. \(\sqrt 5 \).
C. \(\sqrt 2 \).
D. \(2\sqrt 5 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = x + yi\,;\,\,x;y \in \mathbb{R}\). \(\left| {iz – 3 + 4i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {i\left( {x + yi} \right) – 3 + 4i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25.\)
\(H = {\left| {z + 3} \right|^2} – {\left| {z – 4i} \right|^2} = {\left| {x + yi + 3} \right|^2} – {\left| {x + iy – 4i} \right|^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} – {x^2} – {\left( {y – 4} \right)^2}\)
\( = 6x + 8y – 7 = 6x + 24 + 8\,y + 24 – 55 = 6\left( {x + 4} \right) + 8\left( {y + 3} \right) – 55.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số: \(\left( {x + 4;\,\,y + 3} \right)\) và \(\left( {6;\,8} \right)\) ta có:
\(6\left( {x + 4} \right) + 8\left( {y + 3} \right) \le \sqrt {{6^2} + {8^2}} \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} = 50.\)
\(6\left( {x + 4} \right) + 8\left( {y + 3} \right) – 55 \le 50 – 55 \Rightarrow \,H \le – 5.\)
\({\rm{Max}}\,{\rm{H = }}\, – 5\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{6} = \frac{{y + 3}}{8}\\6\,x + 8y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x – 3y = – 7\\6\,x + 8y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = 1\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow z = – 1 + i.\)
\(\left| {\rm{w}} \right| = \left| {iz + 3} \right| = \left| {i\left( { – 1 + i} \right) + 3} \right| = \sqrt 5 .\)
\(\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời