Cho số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 2 + 2i} \right| + \left| {{z_1} + 2 – 2i} \right| = 10\sqrt 2 \),\(\left| {{z_2} – 6 + 6i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).

Câu hỏi: Cho số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 2 + 2i} \right| + \left| {{z_1} + 2 – 2i} \right| = 10\sqrt 2 \),\(\left| {{z_2} – 6 + 6i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). A. \(12\sqrt 2 \).  B. \(16\sqrt 2 \).  C. \(5\sqrt 2 \).  D. \(11\sqrt 2 \). LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(M\), \(A\left( {2; – 2} \right)\) và \(B\left( { – 2;2} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức \({z_1}\), \(z = 2 – 2i\) và \(z’ =  – 2 + 2i\). Khi đó theo đề bài ta có : \(MA + MB = 10\sqrt 2 \) và \(AB = 4\sqrt 2  < 10\sqrt 2 \). Vì \(A\), \(B\) là các điểm cố định nên quỹ tích các điểm \(M\) thõa mãn các điều kiện trên là elip\(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn \(2a = 10\sqrt 2 \), 2 tiêu điểm là \(A\), \(B\). Mặt khác \(N\) là điểm biểu diễn cho số phức \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_2} – 6 – 6i} \right| = \sqrt 2 \) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {6; – 6} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \). Dễ thấy \(B\), \(A\), \(I\) nằm trên đường thẳng \(y =  – x\). Xét điểm \(P\) nằm trong đoạn \(BI\) thỏa mãn \(IP = \sqrt 2  \Rightarrow P\left( {5; – 5} \right)\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( C \right)\\P \in \left( E \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( C \right)\) và \(\left( E \right)\) tiếp xúc nhau tại \(P\).

Do đó \(MN\) lớn nhất khi : \(MN = 2a + 2R = MP + PN = 10\sqrt 2  + 2\sqrt 2  = 12\sqrt 2 \), lúc đó : \(M,\,P\) là các đỉnh trên trục lớn \(\left( E \right)\), \(N\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(I\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.