Cho số phức \({z_1}\,;{z_2}\) thỏa \(\left| {{z_1} – 1 – 2i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} + 2 + 3i} \right| = \left| {{z_2} – 1 – i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) bằng
A. \(\frac{{27}}{{10}}\).
B. \(\frac{{29}}{{10}}\).
C. \(\frac{{33}}{{10}}\).
D. \(\frac{{23}}{{10}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \({z_1} = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\) khi đó \(\left| {{z_1} – 1 – 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 1\).
Suy ra tập hợp biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường tròncó phương trình \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 1\).
Gọi \({z_2} = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) khi đó \(\left| {{z_2} + 2 + 3i} \right| = \left| {{z_2} – 1 – i} \right| \Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b + 3)^2} = {(a – 1)^2} + {(b – 1)^2} \Rightarrow 6a + 8b + 11 = 0.\)
Suy ra tập hợp biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\Delta :6x + 8y + 11 = 0\).
Gọi \(M\)là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) và \(N\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) trong mặt phẳng phức. Từ đó ta có\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = NM\).
Ta thấy \(d(I,\Delta ) > R\) )
Nên \(N{M_{\min }} = d(I,\Delta ) – R = \frac{{33}}{{10}} – 1 = \frac{{23}}{{10}}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) bằng \(\frac{{23}}{{10}}.\)
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời