Cho số phức \({z_1}\) thỏa mãn \({\left| {{z_1} + 3} \right|^2} – {\left| {{z_1} + 2i} \right|^2} = 3\) và số phức \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_2} + 1 – 3i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).
A. \(\frac{{8 – \sqrt {26} }}{{\sqrt {13} }}\).
B. \(\frac{{\sqrt {26} + 4}}{{\sqrt {13} }}\).
C. \(\frac{{\sqrt {26} – 4}}{{13}}\).
D. \(\sqrt {13} – 3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \({z_1} = x + yi,\,\,\left( {x,\,\,y\,\, \in \mathbb{R}} \right)\), và điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn cho \({z_1}\).
Theo giả thiết ta có
\({\left| {{z_1} + 3} \right|^2} – {\left| {{z_1} + 2i} \right|^2} = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} – {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 3\)\( \Leftrightarrow 3x – 2y + 1 = 0\).
Suy ra điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\left( \Delta \right):3x – 2y + 1 = 0\).
Gọi \({z_2} = x’ + y’i,\,\,\left( {x’,\,\,y’\,\, \in \mathbb{R}} \right)\), và điểm \(N\left( {x’;y’} \right)\) biểu diễn cho \({z_2}\).
Theo giả thiết ta có: \(\left| {{z_2} + 1 – 3i} \right| = \sqrt 2 \,\, \Leftrightarrow \,\,\sqrt {{{\left( {x’ + 1} \right)}^2} + {{\left( {y’ – 3} \right)}^2}} = \sqrt 2 \,\, \Leftrightarrow {\left( {x’ + 1} \right)^2} + {\left( {y’ – 3} \right)^2} = 2\).
Suy ra điểm \(N\) thuộc đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 2\) tâm \(I\left( { – 1;3} \right)\), bán kính \(r = \sqrt 2 \).
Ta có \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN\), khi đó \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) nhỏ nhất khi \(MN\) nhỏ nhất bằng
\(d\left( {I,\Delta } \right) – r = \frac{8}{{\sqrt {13} }} – \sqrt 2 = \frac{{8 – \sqrt {26} }}{{\sqrt {13} }}\).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời